湖南名校联盟2024届高三全真模拟（5月）适应性考试数学试题答案
【
高三数学试题参考答案 第１ 页(
共６页)】
２０２４ 届高三５月适应性考试数 学
参考答案、
提示及评分细则
１．
【
答案】
C
【
解析】
设扇形的半径为
r
,
弧长为
l
,
由扇形的面积
S
＝１
２
αr
２＝
r
２＝１
,
解得
r
＝１或
r
＝－１
(
舍去),
所以
l
＝
αr
＝
２
,
故选 C．
２．
【
答案】
A
【
解析】
由题意可得
z
＝
２＋i
２－i
＝(
２＋i
)
２
(
２－i
)(
２＋i
)
＝
３＋４i
５,
故
z
＝
３－４i
５,
故
z
＋
z
＝６
５,
故选 A．
３．
【
答案】
B
【
解析】
解不等式
|
x
|＜２得－２＜
x
＜２
,
则
A
＝(
－２
,
２
),
y
＝１＋２sin２０２４
x
∈[
－１
,
３
],
则
B
＝[
－１
,
３
],
所以
A
∩
B
＝[
－１
,
２
)
．
故选 B．
４．
【
答案】
C
【
解析】
由
a
１＋
a
３＋
a
５＝３
a
３＝１８
,
a
２＋
a
４＋
a
６＝３
a
４＝３９可得
a
３＝６
,
a
４＝１３
,
故公差
d
＝１３－６＝７
,
故
a
８＝
a
３＋
５
d
＝６＋３５＝４１
,
故选 C．
５．
【
答案】
D
【
解析】
若
a
⊥
c
,
b
⊥
c
,
则
a
,
b
可以是平行,
也可以是相交或异面,
故A错误;
若
a
∥
b
,
a
∥
α
,
则
b
∥
α
或
b
⊂
α
,
故B
错误;
若
a
∥
α
,
b
∥
α
,
c
⊥
a
,
c
⊥
b
,
当
a
与
b
相交时,
c
⊥
α
,
故C错误;
若
β
⊥
α
,
γ
⊥
α
,
β
∩
γ
＝
a
,
在
a
上取一点
P
,
作
PQ
⊥
α
,
由面面垂直的性质定理可得
PQ
⊂
β
且
PQ
⊂
γ
,
即
a
与
PQ
重合,
可得
a
⊥
α
,
故D正确,
故选 D．
６．
【
答案】
D
【
解析】
记
A
,
B
分别表示“
甲被选中”
和“
乙被选中”,
故
P
(
A
)
＝４
１０＝２
５．
从１０名体验者中选出４名时,
如果甲和
乙被选中,
则剩余２个被选中的人可从甲和乙之外的８名体验者中任意选择２名,
故选取方式有C
２
８种,
从 而
P
(
AB
)
＝C
２
８
C
４
１０
＝２８
２１０
＝２
１５
．
故
P
(
B
|
A
)
＝
P
(
AB
)
P
(
A
)＝
２
１５
２
５
＝１
３,
故选 D．
７．
【
答案】
A
【
解析】
依题意可得
PM
⊥
PN
,
|
OP
|＝
c
,
所以
|
OM
|＝|
ON
|＝
c
,
所以
NM
→
AB
→＝|
NM
→
||
AB
→
|
cos
NM
→,
AB
→＝
２
c
２
a
cos∠
MOB
＝２
ac
,
所以cos∠
MOB
＝１
２,
所以∠
MOB
＝６０°
,
|
OM
|cos∠
MOB
＝１
２
c
,
|
OM
|sin∠
MOB
＝
３
２
c
,
则
M
的坐标为
(
c
２,
３
c
２
)
,
所以
c
２
４
a
２＋３
c
２
４
b
２＝１
,
即
c
２
a
２＋３
c
２
a
２－
c
２＝４
,
可得
e
２＋３
e
２
１－
e
２＝４
,
化简得
e
４－８
e
２＋４＝
０
,
解得
e
２＝４－２ ３,
即
e
＝ ３－１．
故选 A．
８．
【
答案】
D
【
解析】
由题意,
设距离注水开始经历时长为
t
,
则此时漏斗中水的体积
V
(
t
)
＝
kt
(
k
＞０
)
．
设圆锥底面半径为
R
,
水
面高度处截面圆的半径为
r
,
则由三角形相似知识可知
r
＝
h
H
R
．
又因为
V
(
t
)
＝１
３π
r
２
h
,
所以整理可得
h
＝
{#{QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=}#}
【
高三数学试题参考答案 第２ 页(
共６页)】
３３
kH
２
π
R
２３
t
,
记常数
３３
kH
２
π
R
２＝
a
,
则
h
(
t
)
＝
at
１
３,
由导数的定义可知,
注水开始后
t
时长时,
水面高度的瞬时增长率
为
h′
(
t
)
＝
a
３
t
－２
３,
因此
δ
１＝
h′
(
t
１),
δ
２＝
h′
(
t
２),
其中
V
(
t
１)
＝１
３
π
r
２
１
h
１＝π
３
(
h
１
H
R
)
２
h
１＝π
R
２
３
H
２
h
３
１,
同理有
V
(
t
２)
＝π
R
２
３
H
２
h
３
２．
又
V
(
t
１)
V
(
t
２)
＝
kt
１
kt
２＝
t
１
t
２
,
所以
t
１
t
２＝
(
h
１
h
２
)
３＝
(
１
３
H
２
３
H
)
３＝１
８．
于是
δ
１
δ
２＝
h′
(
t
１)
h′
(
t
２)
＝
(
t
１
t
２
)
－２
３＝
(
１
８
)
－２
３＝４
,
故选 D．
９．
【
答案】
ABC
【
解析】
由题可知
C
的虚轴长为２
,
故实轴长为４
,
则２
a
＝４
,
解 得
a
＝２
,
故双曲线的方程为
y
２
４－
x
２＝１
,
则
c
２＝
a
２＋
b
２＝５
,
即
c
＝ ５,
故
C
的焦点坐标为(
０
,
± ５),
故A正确;
注意到
C
的焦点在
y
轴上,
故渐近线方程为
y
＝
±
a
b
x
＝±２
x
,
故B正确;
由题意可知
l
的斜率存在,
且
C
与
l
有交点时,
l
的斜率的绝对值大于
C
的渐近线斜率
的绝对值,
同理当
l
的斜率的绝对值大于
C
的渐近线斜率的绝对值时,
C
与
l
有交点,
故C正确;
当
l
的斜率的绝
对值等于
C
的渐近线的斜率的绝对值时,
C
与
l
无交点,
故必要性不成立,
D错误．
故选 ABC．
１０．
【
答案】
AB
【
解析】
A:
易得
T
＝２
(
７π
１２－π
１２
)
＝π
,
又
T
＝
２π
ω
,
所以
ω
＝２
;
由
f
(
π
１２
)
＝０
,
即sin
(
π
６＋
φ
)
＝０
,
且－π
２＜
φ
＜π
２,
所
以
φ
＝－π
６,
故A正确;
B
:
由A的分析知
f
(
x
)
＝－ ３sin
(
２
x
－π
６
)
,
因为
f
(
x
＋π
３
)
＝－ ３sin
(
２
x
＋π
２
)
＝
－ ３cos２
x
为偶函数,
故B正确;
C:
由
x
∈
(
０
,
π
４
)
,
得２
x
∈
(
０
,
π
２
)
,
故
f
(
x
＋π
３
)
在
(
０
,
π
４
)
上单调递增,
故C错
误;
D:
因为
f
(
π
３
)
＝－ ３,
f
(
５π
６
)
＝ ３,
f
(
４π
３
)
＝－ ３,
f
(
１１π
６
)
＝ ３,
故D错误．
故选 AB．
１１．
【
答案】
ABD
【
解析】
由于
a
n
＋１＝
a
２
n
,
且{
a
n
}
的首项为２
,
故易有
a
n
＞０
,
则两边同时取对数有l
g
a
n
＋１＝２l
g
a
n
,
故{
l
g
a
n
}
是以l
g
２
为首项,
２为公比的等比数列,
A正确;
继续取对数有l
g
(
l
g
a
n
＋１)
＝l
g
(
２l
g
a
n
)
＝l
g
２＋l
g
(
l
g
a
n
),
故{
l
g
(
l
g
a
n
)}
是以
l
g
(
l
g
２
)
＋l
g
２为首项,
１为公差的等差数列,
B正 确;
由{
l
g
a
n
}
是 以l
g
２为首项,
２为公比的等比数列有l
g
a
n
＝
l
g
２
２
n
－１,
则
a
n
＝２
２
n
－１ ．
a
n
a
２
n
－１＝２
２
n
－１
(
２
２
n
－１ ＋１
)(
２
２
n
－１ －１
)
＝２
２
n
－１ (
２
２
n
－１ －１
)
(
２
２
n
－１ －１
)(
２
２
n
－１
)
＝１
２
２
n
－１ －１－１
２
２
n
－１
,
故
S
n
＝
１
２
２
０－１
－１
２
２
１－１
＋１
２
２
１－１
－１
２
２
２－１
＋＋１
２
２
n
－１ －１
－１
２
２
n
－１
＝１－ １
２
２
n
－１
,
且
S
n
关于
n
单调递增,
故
S
n
≥
a
１＝
２
３,
S
n
＝１－ １
２
２
n
－１
＜１
,
C错误,
D正确,
故选 ABD．
１２．
【
答案】
２２
,
３５
(
写出一个得３分,
两个都正确得５分,
顺序错误不得分)
【
解析】
易得样本数据１０
,
１２
,
１４
,
１６
,
２０
,
２４
,
３０
,
３５
,
４０
,
４３的中位数为２０＋２４
２＝２２
,
由于 １０×７５％＝７．５
,
故上四
分位数为３５
,
故答案为:
２２
,
３５．
１３．
【
答案】
２
【
解析】
由题意得,
该正态分布曲线关于
X
＝８００对称,
故
P
(
X
＜８００
)
＝０．５
,
则
P
(
８００≤
X
＜８５０
)
＝
P
(
X
＜８５０
)
－
P
(
X
＜８００
)
＝０．７－０．５＝０．２
,
由题意得
Y
~
B
(
１０
,
０．２
),
故
E
(
Y
)
＝１０×０．２＝２
,
故答案为２．
{#{QQABQYaAggCIQJAAABgCUQHQCgIQkAAAACoOBBAMIAAASRNABCA=}#}
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