湖南省2024届高三数学数列中的知识交汇和创新型问题（学生） (1)

3.0 envi 2025-01-12 5 4 1.77MB 22 页 3知币

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数列中的知识交汇和创新型问题

1王先生今年初向银行申请个人住房贷款 100 万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初

开始还贷，分 10 年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等

分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同

等数额的贷款 (包括本金和利息).

(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还 15000 元，最后一个还贷月应还 6500

元，试计算王先生该笔贷款的总利息；

(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为 0.3%，.银行规定每月还贷额不得超过家庭月

收入的一半，已知王先生家庭月收入为 23000 元，试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素)

参考数据 1.003119≈1.428，1.003180≈1.433，1.003121≈1.437

2佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑.在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核

心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、

造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度 153.6 米.坊塔塔楼由底部 4个高度相同的方体组成塔基，

支托上部 5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构.底部 4个方体高度均为 33.6 米，中间第 5个

方体也为 33.6 米高，再往上 2个方体均为 24 米高，最上面的两个方体均为 19.2 米高.

(1)请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列 an



的通项公式，该数列以

33.6 为首项，并使得 24 和19.2 也是该数列的项；

(2)佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为 310 米.根据你得到的等差数列，连续取用该数列前 m(m∈

N*)项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为 19.2 米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依

次为 2a1、3a2、4a3、⋯⋯、m+1



am(m+1



am表示高度为 am的方体连续堆叠 m+1层的总高度)，请

问新堆叠坊塔的高度是否超过 310 米？并说明理由.

3在当前市场经济条件下，某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格 a与其实际价值 b之间

存在着相当大的差距.对购物的消费者来说，这个差距越小越好，而商家则相反，于是就有消费者与商

家的“讨价还价”，常见的方法是“对半还价法”，消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价加上

二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半，商家第二次讨价，再加上二者差价的一

半，如此下去，可得表 1:

表1

次数消费者还价商家讨价

第一次 b1=1

2a c1=b1+1

2(a-b1)

第二次 b2=c1-1

2(c1-b1)c2=b2+1

2(c1-b2)

第三次 b3=c2-1

2(c2-b2)c3=b3+1

2(c2-b3)

⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅ ⋅⋅⋅

第n次bn=cn-1-1

2(cn-1-bn-1)cn=bn+1

2(cn-1-bn)

消费者每次的还价 bn(n∈k)组成一个数列 bn



(1)写出此数列的前三项，并猜测通项 bn的表达式并求出 lim

n→+∞bn；

(2)若实际价格 b与定出 a的价格之比为 b:a=0.618:1，利用“对半还价法”讨价还价，最终商家将能有

百分之几的利润?

4近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商行业的新增长点.某直播平台第 1年

初的启动资金为 500 万元，由于一些知名主播加入，平台资金的年平均增长率可达 40%，每年年底把除

运营成本 a万元，再将剩余资金继续投入直播平合.

(1)若a=100，在第 3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

(2)每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第 6年年底㧅除运营成本后资金达到

3000 万元？ (结果精确到 0.1 万元)

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