湖南省常德市第一中学2023-2024学年高三上学期第六次月考 数学答案

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2024 届高三第 6次月考数学参考答案 第 1 页 共 4 页
常德市一中 2024届高三第六次月水平检测
数 学 （参考答案）
1.B. 2.A 3. B
4. B.
13 7 7 5 9 7
77
13 , , 2
24 12
S a a a a a

=
= + = =
59 26
cos( ) cos( ) cos cos sin sin
4 3 4 3 4 3 4
aa
 
−
+ = + = − =
5.A【解析】如图所示：刍甍的体积为直三棱柱的体积减去两个相同的三棱锥的体积，
即
( )
1 1 1 1
1 3 4 2 1 3 4 2 6 1 5
2 3 2 2
V=   −   − = − =
.故选：A
6. C【解析】先排甲、乙外的 3人，有
3
3
A
种排法，再插入甲、乙两人，有
2
4
A
种方法，共有
3
3
A
×
2
4
A
种
方法，
又甲排乙的左边和甲排乙的右边各占
1
2
，故所求不同和站法有
3
3
A
2
4
A
=36(种）.故选：C.
7． D 【解析】因为
( 1) ( )f x f x+ = −
，所以函数
()fx
的对称轴为
1
2
x=
，所以
1
sin 1,
26

+ = 


即
1,
2 6 2 k k Z


+ = +
，解得
22,
3k k Z

= +
，
0, 0,k k Z
 
,
（1）若
()fx
在区间
,
4 12


−


上单调递增，则
2 2 ,
2 6 2
k x k k Z
 
 
− + +  +
∵
0
，
∴
1 2 1
2 2 , ,
33
k x k k Z



 
− +   +
 
 
，
∴
122
43
12,
12 3
k
k



−  − +

 

+


，即
1 1 2 2
43
1 1 1 2
12 3
k
k

− − +

 

+


，解得
88,
3k k Z
 −
，
所以
8
0 8 ,
3k k Z
 −
，且
22,
3k k Z

= +
，所以当
0k=
时，
2
3
=
满足题意；
（2）若
()fx
在区间
,
4 12


−


上单调递减，则
3
2 2 ,
2 6 2
k x k k Z
 
 
+ +  +
∵
0
，
∴
1 1 4
2 2 , ,
33
k x k k Z



 
+   +
 
 
，
∴
12
43
14 2,
12 3
k
k



−  +

 

+


，即
1 1 1 2
43
1 1 4 2
12 3
k
k

−  +

 

+


，解得
48,
3k k Z
 − −
，
所以
4
0 8 ,
3k k Z
 − −
，且
22,
3k k Z

= +
，此时无解，综上可得
2
3
=
.
8. D【解析】
1
0 2 0, 0,x x x x
→ → → + →时， 时，
则
1
2yx
x
=+
的两条渐近线分别为
2 , 0y x x==
，
所以该函数对应的双曲线焦点在
2 , 0y x x==
夹角（锐角）的角平分线
l
上，
设
:l y kx=
且
2k
，若
,

分别是
y kx=
，
2yx=
的倾斜角，故
tan ,tan 2k

==
，
故

−
为双曲线旋转后其中一条渐近线的倾斜角，
由
π1
tan( ) tan( )
2 tan
 
− = − =
，即
tan tan 2 1
tan( ) 1 tan tan 1 2
k
kk

 
−−
− = = =
++
，
整理得
24 1 0kk− − =
，可得
25k=+
（负值舍去），（或者用二倍角公式求）
所以绕原点顺时针旋转得到焦点位于
x
轴上的双曲线
C
一条渐近线斜率为
152
25
b
a= = −
+
，故
2
2
1 1 (9 4 5) 10 4 5
b
ea
= + = + − = −
.故选：D
9. AB
10． ACD
【解析】设圆锥
1
AO
的底面圆
1
O
的半径为
R
，高为
h
，母线长为
l
，由圆锥
1
AO
与球
2
O
的表面积相等，
得
22
π π 4πRl R R+=
，解得
3lR=
，因此圆锥
1
AO
的母线与底面所成角的余弦值为
1
3
R
l=
，A正确；
22
22h l R R= − =
，因此圆锥
1
AO
的高与母线长之比为
22
3
h
l=
，B错误；
圆锥
1
AO
的侧面积与底面积之比
2
π3
π
Rl l
RR
==
，C正确；
球
2
O
的体积与圆锥
1
AO
的体积之比为
3
2
4π
32
1π22
3
R
RR
=
，D正确.故选：ACD
11． ABC
【解析】对于 A，因为
C
：
24xy=
的准线为
l
：
1y=−
，焦点为
( )
0,1F
，设
( )
00
,A x y
，则
( )
0,1Mx−
，
( )
00
,2 1N x y +
，所以
( ) ( )
2
0 0 0 0 0
, 2 ,2 4 0FM FN x x y y x = − = − + =
，所以
90MFN = 
，（或由抛物线定
义知
AM AN AF==
，所以
90MFN = 
，）故选项 A正确；
对于 C，因为
2
x
y=
，所以
A
处的切线斜率，
0
2
AP
x
k=
，而
2
0
00
00
1
2
242
NF
x
yx
kxx
= = =
，所以
AP NF
kk=
，
{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}
2024 届高三第 6次月考数学参考答案 第 2 页 共 4 页
从而
AP NF∥
，即
AP NQ∥
，所以 B正确.又
A
是线段
MN
中点，所以
P
是线段
MQ
的中点，又
90MFN = 
，所以
PQ PF=
，所以 C正确.对于 D，因为
0
2
NF
x
k=
，所以直线
FN
的方程为
0
12
x
yx−=
，
令
1y=−
，得
0
4,1Qx

−−


，所以
00
00
44
2 4 4MQ x x
xx
−
= − = + =
，当且仅当
02x=
时，最小值为 4，
故选项 D错误.故选：ABC
12． ABD【解析】：先证明
( )
fx
为奇函数。令
xy=
，则
( )
00f=
；令
0x=
，则
( ) ( )
f y f y− = −
，
( )
fx
为奇函数。
再证明
( )
fx
是增函数。不妨设
10xy− 
，则
( ) ( ) ( )
1,0 ,
1
xy f x f y
xy
− −
−
，
( )
fx
在
( )
1,0−
为增函数，又
( )
fx
是奇函数，
( )
fx
在
( )
1,1−
为增函数。
令
11
,
3 1 4
xy
yxy
−
==
−
，则
71
13 2
x=
，
1 1 7 1
3 4 13 2
f f f f
   
+ =
   
   
13.60
14. 11 【解析】：P(67≤X≤77)≈0.682 7，P(62≤X≤82)≈0.954 5，∵P(67≤X≤n)＝0.818 6＝
0.954 5－0.954 5－0.682 7
2，∴n＝82，即 P(67≤X≤82)＝0.818 6，由已知，该班在[67,82)内抽取
了11 人，他们的分数为 68，70，71，72，73，75，76，76，78，80，81。
15.
95
,,
22
 
− − − +
 
 
【解析】：当
1n=
时，
1125b S a= = − −
，
1
1
4
2
4
15
1
b a
a = − = +
+
，
当
2n
时，
( ) ( )
2
2
16 2 1 6 1 2 2 7
n n n n n a n n ab S S n
−
− − − − − − − =

−= −=
4 4 2 11
11
2 7 2 7
n
n
n
annb
−
= − = − =
−−
，
( )
2n
27
3
a=
，
35a=
，
43a=−
，
51
3
a=−
，
6
1
5
a=
，且
6n
时，
0
n
a
，
340aa
，
560aa
要使数列
 
n
a
的变号数为
2
，则
125
4
10
a
a=+
+
，解得
95
22
aa −  −或
16． (1)4 ； (2)
3
2
−
【解析】（1）因为
20
x
，所以
2
12
2111 22
11
x
xx
+ ++
，
又因为
1
2 1 2
( ) 1 2
2 1 2 1 1
x
xx
fx −=−=−
+=−
+
，又因为
2 1 2 1
xx
− +
， 所以
21
() 21
1
x
x
fx=+
−
，
所以
21
(21
1 ) 1
x
x
fx−−
+
=
，又因为
( ) cos (0 4π)g x x x=
，所以
 
( ) 1,1gx−
，
又因
2
( ) 1 21
x
fx=− +
，可得
()fx
为奇函数且单调递增，作出两函数的
( )
0,4π
内的大致图像，如图所示：
(4π) cos4π1g==
，而函数
()fx
在
( )
0,4π
上单调递增，且
21
(21
1 ) 1
x
x
fx−−
+
=
，所以
1(4π)f
，
由此可知
( ) ( )f x g x=
在
( )
0,4π
内有 4个解．所以
()gx
是
()fx
在
( )
0,4π
的“4 重覆盖函数”；
故
n
=4（本小问 2分）
（2）可得
11
22
2 1 2
( ) log log (1 )
2 1 2 1
x
xx
fx −
= = − ++
的定义域为
( )
0,
+
，
即对任意
0
xR
，都有 2个不同的实数
)
12
, 2,xx − +
，使得
0
( ) ( )
i
g x f x=
（其中
1,2,3, ,i n n +
=N
），
∵
21
x
，∴
1
12
210
2
12 1 2 1
2
x
xx
 + ++
 
，所以
2
0 1 1
21
x
 −
+
，所以
( )
1
2
21
( ) log 0,
21
x
x
fx +
−
=  +
，即
( )
0
01
2
2
( ) ( ) log (1 ) 0,
21
ix
g x f x= = −  +
+
，即对任意
0k
，
()g x k=
有2
个实根，
当
1x
时，
2
( ) logg x x k==
已有一个根，故只需
1x
时，
()g x k=
仅有 1个根，
当
0a=
时，
( ) 3 1g x x= − +
，符合题意，
当
0a
时，则需满足
(1) 2 2 3 1 0ga= + − + 
，解得
2
03
a
，
当
0a
时，抛物线开口向下，
()gx
有最大值，不能满足对任意
0k
，
()g x k=
仅有 1个根，故不成
立．
综上，实数 a的取值范围是
2
03



，
，a的最大值为
2
3
M=
，
则
53
sin[( 1) ] sin 32
M
+ = = −
．（本小问 3分）
17．【解】（1）证明：因为 AC，BC，CD 两两垂直，
BC CD C=
，
BC
面BCDE，
CD
面BCDE，
所以 AC⊥平面 BCDE.因为
DE
平面 BCDE，所以 AC⊥DE. -----------------1 分
在直角梯形 BCDE 中，连结 CE. 由
2
BCD CBE
=  =
且
1BC BE==
，
2CD =
，
可得
2CE DE==
，
2 2 2
CE DE CD+=
，所以 DE⊥CE.
因为
AC CE C=
，
AC
面ACE，
CE
面ACE，所以 DE⊥平面 ACE. --------------4 分
（2）因为 AC，BC，CD 两两垂直，以点 C为原点，直线 CA，CB，CD 分别为 x轴，y轴，z轴建立如图
所示的空间直角坐标系 C-xyz，
{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}
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