湖南省长沙市师范大学附属中学2022-2023学年高一下学期第一次大练习数学试卷 含答案

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2022-2023 学年湖南师大附中高一（下）第一次大练习数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知
i
为虚数单位，下列说法正确的是()
A.若
x2+1=0
，则
x=i
B.实部为零的复数是纯虚数
C.
z=(x2+1)i
可能是实数 D.复数
z=2+i
的虚部是
i
2.设集合
A={x∨y=lg(x −1)}, B={x∨2x>1
4}
，则
()
A.
(1,+∞)
B.
¿
C.
(−2,1)
D.
¿
3.若命题“
∀x∈R
，
x2−4x+a ≠ 0
”为假命题，则实数
a
的取值范围是()
A.
¿
B.
(− ∞, 4)
C.
(− ∞ , − 4)
D.
¿
4.下列说法正确的是()
A.“
a c =b c
”是“
a=b
”的充分条件
B.“
x ≥ 1
”是“
x2≥1
”的必要条件
C.“
y=cos(x+φ)
的一个对称中心是原点”是“
φ=2k π − π
2, k ∈Z
”的充分不必要条件
D.“
⃗
a⋅
⃗
b<0
”的充分不必要条件是“
⃗
a
与
⃗
b
的夹角为钝角”
5.设
a=1
2l o g 3
2
2, b=l o g52, c=¿
，则
a
，
b
，
c
的大小关系为()
A.
a<b<c
B.
b<a<c
C.
b<c<a
D.
a<c<b
6.已知不等式
a x2+b x+c>0
的解集为
{x∨−2<x<3}
，且对于
∀x∈[1,5]
，不等式
b x2+a m x +2c>0
恒
成立，则
m
的取值范围为()
A.
¿
B.
(− ∞, 4
√
3)
C.
¿
D.
(− ∞ , 13)
7.若向量
⃗
a=(x , 2)
，
⃗
b=(2,3)
，
c
⃗
=(2, − 4)
，且
⃗
a/¿
⃗
c
，则
⃗
a
在
⃗
b
上的投影向量为()
A.
(8
13 ,12
13 )
B.
(−8
13 ,12
13 )
C.
(8,12)
D.
4
√
13
13
8.已知函数
f(x)=2s i n x
，若存在
x1
，
x2
，
…
，
xm
满足
0≤ x1<x2<⋯<xm≤4π
，且
¿f(x1)−f (x2)∨+¿f(x2)− f (x3)∨+⋯+¿f(xm− 1)− f (xm)∨¿16(m ≥2, m∈N¿)
，则
m
的最小值为()
A.
5
B.
6
C.
7
D.
8
二、多选题：本题共 4小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中错误的是()
A.向量
⃗
A B
与
⃗
C D
是共线向量，则
A
，
B
，
C
，
D
四点必在一条直线上
B.零向量与零向量共线
C.若
⃗
a=
⃗
b
，
⃗
b=
⃗
c
，则
a
⃗
=c
⃗
D.温度含零上温度和零下温度，所以温度是向量
10.下列说法正确的是()
A.若
α
为第一象限角，则
α
2
为第一或第三象限角
B.函数
f(x)=sin(x+φ+π
4)
是偶函数，则
φ
的一个可能值为
3π
4
C.
x=π
3
是函数
f(x)=2c o s(2x+π
3)
的一条对称轴
D.若扇形的圆心角为
60 °
，半径为
1c m
，则该扇形的弧长为
60 c m
11.已知
a>b>0
，
c>0
，则下列结论一定正确的是()
A.
b
a<b+c
a+c
B.
a3− b3>a2b − a b2
C.
b2
a+a2
b<a+b
D.
aabb>¿
12.已知函数
f(x)
的定义域为
R
，
f(x − 1)
为奇函数，
f(x+1)
为偶函数，当
x∈(−1,1)
时，
f(x)=x2−1
，
则下列结论正确的是()
A.
f(x)
为周期函数且最小正周期为
8
B.
f(7
2)= 3
4
C.
f(x)
在
(6,8)
上为增函数
D.方程
f(x)+¿l g x∨¿0
有且仅有
7
个实数解
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分。
13.已知函数
y=ax− 2+3¿
，且
a ≠ 1¿
的图象恒过定点
P
，若点
P
也在函数
y=2l o g3(x+1)+b
的图象上，则
b=¿
______．
14.计算：
t a n12 ° −
√
3
(4c o s212 °− 2)s in 12°=¿
______．
15.已知函数
f(x)=
{
¿l o g2x∨,0<x<2,
sin (π
4x),2≤ x ≤10 ,
若存在
x1
，
x2
，
x3
，
x4
，满足
x1<x2<x3<x4
，且
f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)
，则
x1x2x3x4
的取值范围为______．
16.在
△A B C
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c .
已知
a ≠ b , c=
√
3
，
si n A=3
5,cos2A −cos2B=
√
3s i n A c o s A −
√
3
2s i n 2B
，则
△A B C
的面积是______．
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.
¿
本小题
10
分
¿
在
△A B C
中，内角
A
，
B
，
C
所对的边分别为
a
，
b
，
c
，且
b2+c2−3
2b c=a2
．
(1)
求
c o s A
的值；
(2)
若
B=2A
，
b=3
，求
a
的值．
18.
¿
本小题
12
分
¿
如图，在平行四边形
A BC D
中，
A P⊥B D
，垂足为
P
．
(1)
若
A P
⃗
⋅A C
⃗
=8
，求
A P
的长；
(2)
设
¿A B
⃗
∨¿6,∨A C
⃗
∨¿8,∠B A C=π
3, A P
⃗
=x A B
⃗
+y A C
⃗
，求
y − x
的值．
19.
¿
本小题
12
分
¿
有一种候鸟每年都按一定的路线迁徙，飞往繁殖地产卵，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为
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