浙江省五校联盟2023-2024学年高三下学期3月联考试题 数学 含答案

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浙江省五校联盟 2023-2024 学年高三下学期 3月联考
数学试卷
命题:浙江省杭州第二中学
一、选择题:本题共 8小题,每小题 5分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要
求.
1.若全集 ,集合 A,B 及其关系如图所示,则图中阴影部分表示的集合是( )
A. B. C. D.
2.已知 ,且,则 与 的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3.设b,c表示两条直线,表示两个平面,则下列说法中正确的是( )
A.若,则B.若,则
C.若,则D.若,则
4.已知角 的终边过点 ,则( )
A. B. C. D.
5.设等比数列 的公比为 ,前 项和为 ,则“ ”是“ 为等比数列”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知实数 x,y满足 ,且,则 的最小值为( )
A. B.8 C. D.
7.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,点 为双曲线的左顶点,以 为直径
的圆交双曲线的一条渐近线于 P,Q两点,且,则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在等边三角形 ABC 的三边上各取一点 D,E,F,满足 ,则三角形 ABC 的面积
的最大值是( )
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3小题,每小题 6分,共18 分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全
部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得 0分.
9.在学校组织的《青春如火,初心如炬》主题演讲比赛中,有8位评委对每位选手进行评分(评分互不相同),将选
手的得分去掉一个最低评分和一个最高评分,则下列说法中正确的是( )
A.剩下评分的平均值变大 B.剩下评分的极差变小
C.剩下评分的方差变小 D.剩下评分的中位数变大
10.在三棱锥 中,已知 ,点M,N分别是 AD,BC 的中点，则(
)
A.MN⊥AD B.异面直线 AN,CM 所成的角的余弦值是
C.三棱锥 的体积为 D.三棱锥 的外接球的表面积为
11.已知函数 ,则( )
A. 的零点为
B. 的单调递增区间为
C.当 时,若 恒成立,则
D.当 时,过点 作 的图象的所有切线,则所有切点的横坐标之和为
三、填空题:本题共 3小题,每小题 5分,共15 分.
12.直线 的一个方向向量是 .
13.甲、乙两人争夺一场羽毛球比赛的冠军,比赛为“三局两胜”制.如果每局比赛中甲获胜的概率为 ,乙获胜
的概率为 ,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为 .
14.已知函数 及其导函数 的定义域均为 ,记,若 均为偶函数,且当
时, ,则 .
四、解答题:本题共 5小题,共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分)如图,斜三棱柱 的底面是直角三角形, ,点 在底面 ABC 内
的射影恰好是 BC 的中点,且.
(I)求证:平面 平面 ;
(II)若斜棱柱的高为 ,求平面 与平面 夹角的余弦值.
16.(本小题满分 15 分)己知函数 ,其中 .
(I)若曲线 在 处的切线在两坐标轴上的截距相等,求 的值;
(II)是否存在实数 ,使得 在 上的最大值是-3?若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
17.(本小题满分 15 分)记复数的一个构造:从数集 中随机取出 2个不同的数作为复数的实部和虚部.重
复 次这样的构造,可得到个复数,将它们的乘积记为 .
已知复数具有运算性质: ,其中 .
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