浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期期中考试 数学

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余姚中学 2023 学年第二学期期中检测高一数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1. 已知复数
1
22
i
zi
−
=+
，则
zz−=
（ ▲ ）．
A.
i−
B.
i
C.
0
D.
1
2. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形
O A B C
 
，且
，
2 4 2O A B C A B
 
=
==，
，则该平面图形的高为（ ▲ ）．
A．
22
B．2 C．
42
D．
2
3. 在平行四边形
ABCD
中，
,AC BD
相交于点
O
，点
E
在线段
BD
上，且
3BE ED=
，则
AE =
（ ▲ ）．
A．
11
42
AD AC+
B．
11
24
AD AC+
C．
31
44
AD AC+
D．
13
44
AD AC+
4．某小组有 2名男生和 3名女生，从中任选 2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件
的是（ ▲ ）．
A.恰有 1 名女生和恰有 2名女生 B.至少有 1名男生和至少有 1名女生
C.至少有 1名女生和全是女生 D.至少有 1名女生和至多有 1名男生
5. 已知点
( )
1,1A
，
( )
0,2B
，
( )
1, 1C−−
．则
AB
在
BC
上的投影向量为（ ▲ ）．
A.
10 3 10
,
55




B.
10 3 10
,
55

−−



C.
13
,
55



D.
13
,
55

−−


6. 秦九韶是我国南宋时期的著名数学家，他在著作《数书九章》中提出，已知三角形三边长计算三角形
面积的一种方法“三斜求积术”，即在
ABC
中，
,,abc
分别为内角
,,A B C
所对应的边，其公式为：
( ) ( )
22
2 2 2 2 2 2
22
11
2 2 2 2
ABC
a b c b c a
S ab bc
   
+ − + −
= − = −
   
   
( )
2
2 2 2
2
1
22
a c b
ac 
+−
=−


若
22sin
sin
C
cA
=
，
3
cos 5
B=
，
abc
，则利用“三斜求积术”求
ABC
的面积为（ ▲ ）．
A．
5
4
B．
3
4
C．
3
5
D．
4
5
7. 已知某样本的容量为 50，平均数为 36，方差为 48，现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有
误，一个错将 24 记录为 34，另一个错将 48 记录为 38.在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均
数为
x
，方差为
2
s
，则（ ▲ ）．
A．
2
36, 48sx =
B．
2
36, 48sx =
C．
2
36, 48sx 
D．
2
36, 48sx 
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8. 在
ABC
中，
π
6
A=
，
π
2
B=
，
1BC =
，
D
为
AC
中点，若将
BCD△
沿着直线
BD
翻折至
BC D
△
，使得
四面体
C ABD
−
的外接球半径为
1
，则直线
BC
与平面
ABD
所成角的正弦值是（ ▲ ）．
A.
3
3
B.
2
3
C.
5
3
D.
6
3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 下列说法正确的是（ ▲ ）．
A. 数据 1，2，3，3，4，5的平均数和中位数相同
B. 数据 6，5，4，3，3，3，2，2，1的众数为 3
C. 有甲、乙、丙三种个体按 3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为 9，则样本容量为 30
D. 甲组数据的方差为 4，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是乙组
10. 在
ABC
中，内角
,,A B C
所对的边分别
,,abc
，
22 sina bc A=
，下列说法正确的是（ ▲ ）．
A. 若
1a=
，则
1
4
ABC
S=
△
B.
ABC
外接圆的半径为
bc
a
C.
cb
bc
+
取得最小值时，
π
3
A=
D.
π
4
A=
时，
cb
bc
+
值为
22
11. 如图，在棱长为 4的正方体
1 1 1 1
ABCD ABC D−
中，
,,E F G
分别为棱
AD
，
AB
，
BC
的中点，点
P
为线
段
1
DF
上的动点，则（ ▲ ）．
A．两条异面直线
1
DC
和
1
BC
所成的角为
45
B．存在点
P
，使得
1//CG
平面
BEP
C．对任意点
P
，平面
1
FCC ⊥
平面
BEP
D．点
1
B
到直线
1
DF
的距离为 4
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．
12.为培养学生“爱读书、读好书、普读书”的良好习惯，某校创建了人文社科类、文学类、自然科学类
三个读书社团．甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三
人恰好参加同一个社团的概率为 ▲ ．
13. 如图，在
ABC
中，
π
3
BAC=
，
2AD DB=
，
P
为
CD
上一点，且
满足
( )
1
2
AP mAC AB m= + R
，若
2AC =
，
4AB =
，则
AP CD
的值为
▲ ．
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