浙江省诸暨市2024届高三下学期三模数学试题 含答案

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诸暨市 2024 年5月高三适应性考试
数学
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知抛物线 ： ，则其焦点到准线的距离为（ ）
A．B．C．1 D．4
2．若关于 的不等式 的解集为 ，则（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
3．有一组样本数据：2，3，3，3，4，4，5，5，6，6．则关于该组数据的下列数字特征中，数值最大的
为（ ）
A．第 75 百分位数 B．平均数 C．极差 D．众数
4．在 的展开式中，含 项的系数是 10，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
6．已知 ， 为曲线 ： 的焦点，则下列说法错误的是（ ）
A．若 ，则曲线 的离心率
B．若 ，则曲线 的离心率
C．若曲线 上恰有两个不同的点 ，使得 ，则
D．若 ，则曲线 上存在四个不同的点 ，使得
7．已知函数 满足：对任意实数 ， ，都有 成立，且 ，则
（ ）
A． 为奇函数 B． 为奇函数
C． 为偶函数 D． 为偶函数
8．设 ，已知 ，若 恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。全部选对得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9．若 ，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知 ， 为圆 上的两个动点，点 ，且 ，则（ ）
A．
B．
C． 外接圆圆心的轨迹方程为
D． 重心的轨迹方程为
11．已知函数 有两个零点 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的值可以取 B． 的值可以取
C． 的值关于 单调递减 D．
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12．若复数 满足： ，则复数 的虚部为_________．
13．记 为正项数列 的前 项积，已知 ，则 _________；_________．
14．若正四面体 的棱长为 1，以三个侧面为底面向外作三个正四面体 ， ， ，
则 外接圆的半径是_________．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知函数 的所有正零点构成递增数列 ．
（1）求函数 的周期和最大值；
（2）求数列 的通项公式 及前 项和 ．
16．（15 分）如图，在三棱锥 中， 是正三角形，平面 平面 ， ，
点 是 的中点， ．
（1）求证： 为三棱锥 外接球的球心；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）若 ， ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值最大时 的值．
17．（15 分）已知双曲线 ： 与直线 ： 交于 、 两点（ 在 左侧），过点
的两条关于 对称的直线 、 分别交双曲线 于 、 两点（ 在右支， 在左支）．
（1）设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求 的值；
（2）若直线 与双曲线 在点 处的切线交于点 ，求 的面积．
18．（17 分）如图是一个各棱长均为 1米的正四棱锥 ，现有一只电子蛐蛐在棱上爬行，每次从
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