浙江省舟山中学2023-2024学年高二下学期4月月考试题 数学 含答案

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2024 年浙江省舟山市舟山中学清明返校测
高二数学试题卷
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
第 I 卷（选择题）
一、选择题（本大题共 8题，每小题 5分，共 40 分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求
的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知 的展开式中所有项的二项式系数之和为 32，则 的展开式中 的系数为（）
A．10 B．-10 C．-80 D．80
2．已知 为等差数列， 为其前 n项和.若 ，公差 ，则 m的值为（）
A．4 B．3 C．6 D．5
3．已知 ， 分别是等差数列 与 的前 项和，且 ，则 （）
A．B．C．D．
4．用数学归纳法证明： （ ）的过程中，从 到 时，
比 共增加了（）
A．1项B． 项 C． 项 D． 项
5．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 ， 存在如下关系：
.若某地区一种疾病的患病率是 0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该
试剂的准确率为 ，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有 的可能呈现阳性；该试剂的误报率
为 ，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有 的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个
被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（）
A．B．C．D．
6．假设变量 与变量 的 对观测数据为 ，两个变量满足一元线性回归模型
.要利用成对样本数据求参数 的最小二乘估计 ，即求使 取最小值时
的 的值，则（）
A． B． C． D．
7．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量 ，则当 且
时， 可以由服从正态分布的随机变量 近似替代，且 的期望与方差分别与 的均值与方差近
似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子 2500 次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于
1300 的概率为（）
附：若： ，则 ， ，
．
A．0.0027 B．0.5 C．0.8414 D．0.9773
8．已知函数 ，若对 ，都有 ，则实数 的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、选择题（本大题共 3题，每小题 6分，共 18 分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求．
全不选对得 6分，部分选对得部分分，有选错的得 0分）
9．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结
合“杨辉三角”判断下列叙述，正确的是（）
A．
B．第 20 行中，第 11 个数最大
C．记第行的第 个数为 ，则
D．第 34 行中，第 15 个数与第 16 个数的比为
10．下列有关导数的运算和几何意义的说法，正确的是（）
A．若 ，则 B．若 ，则
C． 在 处的切线斜率是 D． 过点 的切线方程是
11．小明在家独自用下表分析高三前5次月考中数学的班级排名y与考试次数 x的相关性时，忘记了第二次
和第四次月考排名，但小明记得平均排名 ，于是分别用 m＝6和m＝8得到了两条回归直线方程：
， ，对应的相关系数分别为 、 ，排名y对应的方差分别为 、 ，则下列结论正确
的是（）
x1 2 3 4 5
y10 m6n2
（附： ， ）
A．B．C．D．
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 3题，每小题 5分，共 15 分）
12．有 位大学生要分配到三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位
学生实习，已知这位学生中的甲同学分配在单位实习，则这位学生实习的不同分配方案有种．
（用数字作答）
13．数列 满足 ．前 项和为 ，则 ．
14．已知函数 ，函数 ，若函数 恰有三个零点，则
的取值范围是.
四、解答题（本大题共 5题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（13 分）若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不
断构造出新的数列．现对数列 1，2进行构造，第一次得到数列 1，3，2；第二次得到数列 1，4，3，5，2；
依次构造，第 次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第 次构造后得的数列为 ，则 ，请用含的代数式表达出
，并推导出 与 满足的关系式；
(2)求数列 的通项公式 ；
(3)证明：
16．（15 分）（1）若 ，求 的值；
（2）在 的展开式中，二项式系数最大的项只有第五项，
①求 的值；
②若第 项是有理项，求 的取值集合；
③求系数最大的项．
17．（15 分）2024 年甲辰龙年春节来临之际，赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量，抽查了
一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本并称出它们的质量（单位：克），
质量的分组区间为 ， ，…， ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.
(1)根据频率分布直方图，求质量超过515 克的产品数量和样本平均值 ；
(2)由样本估计总体，结合频率分布直方图，近似认为该产品的质量指标值 服从正态分布 ，其中
近似为（1）中的样本平均值 ，计算该批产品质量指标值 的概率；
(3)从该流水线上任取2件产品，设 Y为质量超过515 克的产品数量，求 Y的分布列和数学期望.
附：若 ，则 ，
，.
18．（17 分）将保护区分为面积大小相近的多个区域，用简单随机抽样的方法抽取其中 15 个区域进行编号，
统计抽取到每个区域的某种水源指标和区域内该植物分布的数量 （ ，2，…，15），得到数组
．已知 ， ， ．
(1)求样本 （ ，2…，15）的相关系数；
(2)假设该植物的寿命为随机变量 X（X可取任意正整数）．研究人员统计大量数据后发现：对于任意的
，寿命为 的样本在寿命超过k的样本里的数量占比与寿命为1的样本在全体样本中的数量占比相
同，均等于 0.1，这种现象被称为“几何分布的无记忆性”．
（ⅰ）求 （ ）的表达式；
（ⅱ）推导该植物寿命期望 的值．
附：相关系数 ．
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