浙江省镇海中学2023-2024学年高三数学第一学期期末试卷PDF版含答案

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1
镇海中学 2023 学年第一学期期末考试
高三数学试题
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.
考试时间 120 分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.
2
{ 5 6 0}, { 1 3},A x x x B x x  
则
A B
（ ）
A.
{ 1 3}x x 
B.
{ 1 3}x x 
C.
{ 2 3}x x 
D.
{ 2 3}x x 
2．函数
3
( ) 2 9
x
f x x  
的零点所在区间为（ ）
A.
 
0,1
B.
 
1, 2
C.
(2,3)
D.
 
3, 4
3．设函数
 
1
1
x
a
f x b
a
 
（
0a
，
），则函数
 
f x
的单调性（ ）
A．与
a
有关，且与
b
有关 B．与
a
无关，且与
b
有关
C．与
a
有关，且与
b
无关 D．与
a
无关，且与
b
无关
4．已知等差数列
 
n
a
，则 k=2 是
1 11
a a
10k
a a 
成立的（ ）条件
A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要
5. 已知直线 a，m，n，l，且 m，n为异面直线，
m
平面
，
n
平面
．若 l满足
l m
，
l n
，则下列说法中正确的是（ ）
A.
/ /l
B.
l
C. 若
a
 
 
，则
/ /a l
D.
 
6.已知
是单位向量，且它们的夹角是
60
.若
1 2 1 2
2 ,a e e b e e
 
 
，且
| | | |a b
，则
（ ）
A．2 B．
2
C．2或
3
D．3或
2
7．函数
 
5sin cos
ex
x
f x x x 
在
 
2 , 2
 
上的图象大致为（ ）
A．B．
2
C．D．
8.设实数
,x y
满足
3, 3
2
x y 
，不等式
3 3 2 2
(2 3)( 3) 8 12 3k x y x y x y  
恒成立，则实数
k
的最大值为（ ）
A.
12
B.
24
C.
2 3
D.
4 3
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知复数
，则下列结论正确的有（ ）
A.
2 2
1 1
z z
B.
1 2 1 2
z z z z  
C.
1 2 1 2
z z z z 
D.
1 2 1 2
z z z z 
10.已知
 
f x
，
 
g x
的定义域为
R
，且
 
1f x g x a  
（
0a
），
 
1 1g x g x 
，
若
 
2f x
为奇函数，则（ ）
A.
 
g x
关于 x=1 对称 B.
 
g x
为奇函数 C.
 
02f
D.
 
f x
为偶函数
11.已知
O
为坐标原点，曲线
 
2
2 2 2 2
: 3x y ay x y 
，
0a
，
 
0 0
,P x y
为曲线
上动
点， 则（ ）
A. 曲线
关于
y
轴对称 B. 曲线
的图象具有 3条对称轴
C.
0
9
,16
y a a
 
 
 
 
D.
OP
的最大值为
3a
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分。
12. 在
ABC
中，角
, ,A B C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知
sin 2 sin 2
2
c
a B A
sin cosa A C
．则
角
B
=
13. 镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮
流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次
答对问题的概率都是
1
2
，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为 .
14．在四面体
P ABC
中，
, 60BP PC BAC
，若
2BC
，则四面体
P ABC
体积的最
大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 .
3
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15 ．（ 13 分 ） 在
ABCV
中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，向量
( , ), (sin sin ,m b a c n B C 
r r
sin sin )A B
，且
m n
r r
∥
．
（1）求 A；（2）若
ABCV
的外接圆半径为 2，且
1
cos cos 6
B C  
，求
ABCV
的面积．
16. （15 分）已知 Tn为正项数列{an}的前 n项的乘积，且 a1＝3，
2 1n
n n
T a
，数列
{ }
n
b
满
足
n n
b ka n 
.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列
{ }
n
b
为递增数列，求实数 k的取值范围；
17. （15 分）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费 10 元，现有以下
两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为
1
p
；方案二：每次抽卡抽
中新皮肤的概率为
2
p
，若连续
99
次未抽中，则第
100
次必中新皮肤.已知
2 1
0 1p p  
，玩
家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为
（元）.
（1）求
的分布列；
（2）求
 
E X
；
（3）若
1 2
2 0.02p p 
，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.
：
100
0.99 0.37
.
18. （17 分）已知椭圆
C
：
2 2
2 2 1
x y
a b
 
（
0a
，
0b
）的左、右焦点
分别为
1
F
、
2
F
，离心率为
1
2
，经过点
1
F
且倾斜角为
02
 
 
 
 
 
的直
线
l
与椭圆交于
A
、
B
两点（其中点
A
在
x
轴上方），
2
ABF△
的周长为
8．
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