浙江省浙东北（ZDB）联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学 含答案

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浙东北联盟（ZDB）2022－2023 学年第二学期期中考试
高一数学试卷
命题学校：元济高级中学 命题老师：魏侹路 审卷老师：李慧华
总分 150 分 考试时间 120 分钟
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，有且只有
一项是符合题目要求的）
1．已知平行四边形 中， 是 的中点，则 （ ）
A．B．C．D．
2．已知复数 是纯虚数，则 （ ）
A．B．0 C．1 D．2
3．在 中，角 所对的边分别是 ，若 ，则 是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知非零向量 满足 ，且 ，则 与 的夹角为（ ）
A．B．C．D．
5．已知轴截面是正三角形的圆锥的高与球的直径相等，则圆锥的表面积与球的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
6．任何一个复数 都可以表示成 的形式．其中 是复数 的模；
是以 轴的非负半轴为始边，复数在复平面内对应的平面向量 所在射线为终边的角，叫做复
数 的 辐 角 ． 我 们规 定 在 范 围 内 的 辐 角 的 值为 辐 角 的 主 值， 记 为 ． 那 么
（ ）
A．B．C．D．
7．设 是同一个半径为 5的球的球面上四点， 是斜边为 8的直角三角形，则三棱锥
体积的最大值为（ ）
A．B．64 C．D．128
8．某人的正北方有一座高塔，此时测得塔顶的仰角为 ．随后此人沿北偏东 的方向前进 20 米，再
测得塔顶的仰角为 ．那么，此人在行进过程中距离塔顶的最近距离为（ ）（人的身高忽略不计）
A．B．C．20 D．
二、多项选择题（本题共有 4个小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，
有多项符合题目的要求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 的虚部为 B．
C．在复平面内与 对应的点在第一象限 D．
10．在 中，角 所对的边分别是 ，已知 ，且该三角形仅有唯一解，则
可能的取值有（ ）
A．1 B．C．D．
11．已知点 为边长为 2的正方形 边上一动点，则 可能的取值是（ ）
A．0 B．4 C．8 D．12
12．如图，已知三棱锥 满足 在底面的投影 为 的内心， 是棱 上的点
（不含端点）．记直线 与直线 所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，二面角
的平面角为 ，则下列关系一定正确的是（ ）
（第 12 题图）
A．B．C．D．
三、填空题（本题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分）
13．一个菱形的边长为 4，一内角为 ，若用斜二测画法画出其直观图，则该直观图的面积为______．
14．设复数 ，则 ______．
15．在凸四边形 中，已知 ，则 的长为_____
_．
16．已知平面向量 ，其中 为单位向量．若 与 的夹角为 ，记 为
的最小值，则 的最大值是______．
四、解答题（本题共 6个小题，共 70 分）
17．（本题满分 10 分）已知向量 ．
（1）若 ，求实数 的值；（2）若 ，求实数 的值．
18．（本题满分 12 分）如图， 为正方体 的棱 的中点．
（第 18 题图）
（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与 所成角的余弦值．
19．（本题满分 12 分）在① ，② ，
③ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答．
在 中，角 所对的边分别是 ，且______．
（1）求角 的大小；
（2）若 ，求 的最小值．
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