浙江省余姚中学2023-2024学年高一下学期3月质量检测试题 数学

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余姚中学 2023 学年第二学期质量检测高一数学学科试卷
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1.已知
i
为虚数单位，复数
z
满足
2
(1 ) 2z i 
，则
2024
z
（ ）
A.
1
B.
1
C.
i
D.
i
2.已知向量
(1,1), (2, 1)a b  
 
，若
，则实数
=（ ）
A.
1
2
B.
1
2
C.
2
D.
-2
3. 如图，一个水平放置平面图形的直观图
A B C D
 
是边长为 1的菱形，且
1O D
，则原平面图形的面积为（ ）
A. 2B. 1C.
2 2
D.
2
4.已知
1a
，
3b
，
 
3,1a b 
 
，则
a b
 
与
a b
 
的夹角为（ ）
A.
60
B.
120
C.
45
D.
135
5. 在
ABC
中，
30B 
，
2 3AB
，
2AC
，则
ABC△
的面积是( )
A.
3
B.
2 3
C.
3
或
2 3
D.
2 3
或
4 3
6. 在
ABC
中，
9AB AC 
 
，
sin cos sinB A C
，
6
ABC
S
，
P
为线段
AB
上的动点，且
| | | |
CA CB
CP x y
CA CB
 
 
 
，则
2 1
x y
的最小值为（ ）
A．
11 6
6 3
B．
11
6
C．
11 6
12 3
D．
11
12
7．在
ABC
中，
, ,a b c
分别为
, ,A B C
的对边，
O
为
ABC
的外心，且有
2 3
3
c a b 
，
sin (cos 3) cos sin 0C A C A 
，若
AO x AB y AC 
 
，
,x y R
，则
x y 
（ ）
A．
2
B．
2
C．
3
D．
3
8．棱长为 1 的正四面体
ABCD
内有一个内切球
,O M
为
CD
中点，
N
为
BM
中点，连接
AN
交球
O
于
,P Q
两点，
则
PQ
的长为（ ）
A．
2 33
33
B．
3 11
11
C．
22
24
D．
3
10
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部
选对得 6 分，部分选对的得部分分，有错选的得 0 分.
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9．设
1 2
,z z
为复数，则下列结论中正确的是（ ）
A．若
1
1
z
为虚数，则
1
z
也为虚数 B．若
1+ 1z i
，则
1
z
的最大值为
2
C．
1 2 1 2
z z z z
D．
1 2 1 2
z z z z 
10. 下列说法不正确的是( )
A．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
C．棱长都是 1 的三棱锥的表面积为
3
D．正方体
1 1 1 1
ABCD A B C D
的棱长为 2，
,E F
分别为棱
1
AA
与
1
CC
的中点，四棱锥
1 1
A EBFD
的体积为
4
3
11.已知
和
都是锐角，向量
 
cos ,sina
 
，
 
sin , cosb
 
，
 
1, 0c
，则（ ）
A. 存在
和
，使得
a b
 
B. 存在
和
，使得
a b∥
 
C. 对于任意的
和
，都有
2a b 
 
D. 对于任意的
和
，都有
a b a c b c  
 
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 复数
2
1
1 3
- +
2 2
z i
 
 
 
 
的虚部是 ；若复数
2
z
满足
21z
，
i
为虚数单位，则
21z i 
的取值范围
为 .
13. 已知直三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
的底面为直角三角形，且两直角边长分别为 1 和
2 3
，此三棱柱的高为
3
，则该
三棱柱的外接球的表面积为____________．
14.已知平面内不同的三点
O
，
A
，
B
满足
| | | | 5OA AB 
 
，若
[0,1]
时，
2
| | (1 ) 5
OB OA BO BA
 
 
  
的最小值为
41
，
则
| |OB
___________.
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16,17 题 15 分，第 18,19 题 17 分，共 77 分．解答应写出文字
说明、证明过程或演算步骤.
15.已知复数
1 iz m 
（
i
是虚数单位，
Rm
），且
(3 i)z 
为纯虚数．
(1)求实数
m
及
z
；
(2)设复数
2023
1
ia
zz
，且复数
1
z
对应的点在第二象限，求实数
a
的取值范围．
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