浙江省温州市十校联合体2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试题 含答案

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绝密★考试结束前
2023 学年第二学期温州十校联合体期中联考
高一年级数学学科试题
考生须知：
1.本卷共 4页满分 150 分，考试时间 120 分钟。
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4.考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知 ，则复数 的虚部为（ ）
A.2 B. C. D.
2.若向量 ， ，则与 共线的向量可以是（ ）
A. B. C. D.
3.若 的外接圆的半径 ， ，则 （ ）
A.1 B. C.2 D.
4.已知单位向量 ， 满足 ，则 与 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
5.设 是给定的平面， 、 是不在 内的任意两点，则下列命题中正确的是（ ）
A.在 内一定存在直线与直线 相交
B.在 内一定存在直线与直线 异面
C.一定存在过直线 的平面与 平行
D.存在无数过直线 的平面与 垂直
6.在直三棱柱 中， ， ， ，则异面直线 与 所成角
的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
7.如图，在坡度一定的山坡 处测得山顶上一建筑物 的顶端 对于山坡的斜度为 ，向山顶前进
到达 处，在 处测得 对于山坡的斜度为 .若 ，山坡与地平面的夹角为 ，则
等于（ ）
A. B. C. D.
8.在三棱锥 中， 底面 ， ， ， 的面积为 ，则三棱
锥 的外接球表面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本小题共 3题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.
B.若 ，则
C.
D.若 是关于 的方程 的根，则
10.对于任意的两个平面向量 、 ，下列关系式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
11.如图所示，在等腰梯形 中，已知 ， ，将 沿直线 翻
折成 ，则（ ）
A.翻折过程中存在某个位置，使得
B.当二面角 为 时，点 到平面 的距离为
C.直线 与 所成角的取值范围为
D.当三棱锥 的体积最大时，以 为直径的球被平面 所截的截面面积为
非选择题部分
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12.若向量 ，则与 垂直的一个单位向量 ______.
13.已知正四棱台的上、下底面的边长分别为 2、4，侧棱长为 ，则该棱台的体积为______.
14.已知平面向量 ， ， 满足 ， ， 且 ，则 的最大值为___
___.
四、解答题：本小题共 5小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）已知复数 ， ， 满足： ，
且 的实部为正.
（1）若 在复平面内对应的点在第二象限，求 的取值范围；
（2）当 时， 、 对应复平面内的点分别为 、 ， 为复平面原点，求证： .
16.（本小题满分 15 分）如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， 是 的中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）若 是正三角形，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
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