浙江省天域全国名校协作体2023-2024学年高三下学期联考（二模）数学试题答案

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高三数学学科 参考答案 第1页(共7页)
绝密★考试结束前
2023-2024 学年第二学期天域全国名校协作体联考
高三年级数学学科参考答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
C
A
B
B
D
C
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
题号
9
10
答案
ACD
BC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．
45
（或
4
） 13．
25
5
−
14．
(0, 5)
四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．解：（1）如图，以 AC 的中点 O为原点，分别以射线 OB，OC 为x，y轴的正半轴，建立空间
直角坐标系 O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
0, 3,0 , 1,0,0 , 0, 3,4 , 1,0,2 , 0, 3,1 ,A B A B C−−
因此
( ) ( ) ( )
1 1 1 1 1
1, 3,2 , 1, 3, 2 , 0,2 3, 3 ,AB A B AC= = − = −
.................................. 3 分
由
1 1 1 0AB AB=
得
1 1 1
AB AB⊥
.
由
1 1 1 0AB AC=
得
1 1 1
AB AC⊥
.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
,,AB AC A A B AC ABC平面=
所以
1
AB ⊥
平面
1 1 1
A B C
. .....................................................................................6 分
（2）设直线
1
AC
与平面
1
ABB
所成的角为
.
由（Ⅰ）可知
( ) ( )
( )
11
0,2 3,1 , 1, 3,0 , 0,0,2 ,AC AB BB= = =
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}
高三数学学科 参考答案 第2页(共7页)
设平面
1
ABB
的法向量
( )
,,n x y z=
.
由
1
0,
0,
n AB
n BB
=
=
即
3 0,
2 0,
xy
z
+=
=
可取
( )
3,1,0n=−
,................................................10 分
所以
1
1
1
39
sin |cos , | 13
AC n
AC n AC n
= = =
.
因此，直线 AC1与平面 ABB1所成的角的正弦值
39
13
． ............................13 分
16．（1）由题意可知
1 2 3
(2) 1, (4) 2, (8) 4a a a
 
= = = = = =
， ……………4分
由题意可知，偶数与
2n
不互素，所有奇数与与
2n
互素，
所以
1
(2 ) 2
nn
n
a
−
==
； .………6分
（2）由（1）知
1
(2 ) 2
nn
n
a
−
==
，所以
2 2 1
2(2 ) 2
nn
n
a
−
==
，
所以
21
22 2
21
2
log log 2 21
( 1) ( 1) ( 1) (2 1) (4 2)( )
2 4 4
n
n n n n
n
nnn
n
a
b n n
a
−
−
= − = − = − − = − −
.....……8分
12nn
S b b b= + + +
所以
1 2 1
1 1 1 1
2 ( ) 6 ( ) (4 6) ( ) (4 2) ( )
4 4 4 4
nn
n
S n n
−
=  − +  − + + −  − + −  −
①
2 3 1
1 1 1 1 1
( ) 2 ( ) 6 ( ) (4 6) ( ) (4 2) ( )
4 4 4 4 4
nn
n
S n n +
− =  − +  − + + −  − + −  −
② .....……10分
所以①-②得
1 2 1
5 1 1 1 1
2 ( ) 4[( ) ( ) ] (4 2) ( )
4 4 4 4 4
nn
n
Sn
+
=  − + − + + − − −  −
1
1
11
[1 ( ) ]
11
16 4
4 (4 2) ( )
1
24
1 ( )
4
n
n
n
−
+
−−
= − + − − −
−−
11
1 1 1 1
[1 ( ) ] (4 2) ( )
2 5 4 4
nn
n
−+
= − + − − − − −
1
3 20 6
10 5 ( 4)n
n
+
+
= − − −
，…………………………13分
所以
6 20 6
25 25 ( 4)
nn
n
S+
= − + −
. …………………………15分
17. （1）设双曲线
C
的两渐近线方程分别为
,
bb
y x y x
aa
= = −
，
点
( )
3,2P
到双曲线两渐近线的距离乘积为
2
22 6
5c
ab =
，
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}
高三数学学科 参考答案 第3页(共7页)
由题意可得：
2
2
22
22
22
6
5
94
1
a cb
ab
a
c
b
+=
=
−=
，...................………....…………………3分
解得
22
3, 2ab==
，
则双曲线
C
的方程为
22
1
32
xy
−=
； ............................................................................................5分
（2）设直线
1
l
的方程为
( 5)y k x=+
，
由
12
,ll
互相垂直得
2
l
的方程
1( 5)yx
k
= − +
，..............................................................................6分
联立方程得
22
1
2
(
3
5)
x
y k x
y
−=
=+
消
y
得
( )
2 2 2 2
2 1 6 06535k x k x k−−−−=
，
0
成立，
所以
2
12 22
3 5 2 5
, ( 5)
2 2 3 2 3
M M M
xx kk
x y k x
kk
+
= = = + =
−−
，
所以点
M
坐标为
2
22
3 5 2 5
,
2 3 2 3
kk
kk
（ ）
−−
，.............................................................................................8分
联立方程得
22
1( 5)
32
1
x
yx
k
y
−=
−+
=
，所以
34 22
3 5 1 2 5
, ( 5)
2 2 3 2 3
N N N
xx k
x y x
k k k
+−
= = = − + =
−−
，
所以点
N
坐标为
22
3 5 2 5
,
2 3 2 3
k
kk
（ ）
−
−−
，..............................................................................................10分
根据对称性判断知定点在
x
轴上，
直线
MN
的方程为
NM
MM
NM
yy
y y x x
xx
（ ）
−
− = −
−
，...............................................................................12分
则当
0y=
时，
2
2
2 2 2 2
2
22
3 5 2 5 3 5 2 5 30 1
2 3 2 3 2 3 2 3 35
1
2 5 2 5 2 5
2 3 2 3
M N N M
NM
k k k
x y x y k
k k k k
xy y k
kk
kk
−
 − 
−+
− − − −
= = = = −
− − −
−−
−−
，.................................14分
所以定点坐标为
( 3 5,0)−
. .........................................................................................................15分
18. （1）由题意知
），定义域（ +0)(xf
当
5=m
时，
{#{QQABJQQEgggAQpBAARgCQQGgCAOQkAGCAKoGQAAMMAIByRFABAA=}#}
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