浙江省绍兴市诸暨市2024届高三上学期期末数学试题 含解析

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诸暨市 2023-2024 学年第一学期期末考试试题（高三数学）
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分
1. 设集合 ， ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解出集合 ，在根据交集和并集的概念即可得出答案.
【详解】因为 ，
所以 ， .
故选：D
2. 若函数 （ ， ）的图象过点 和 ，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】利用待定系数法计算即可.
【详解】因为 过点 得 ，
则 ，
又 过点 得 ，即 ， .
故选:A
3. 已知 i是虚数单位， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】判断“ ”和“ ”之间的逻辑推理关系，即可得答案.
【详解】当 时，即 ，得 ，
而 时， ，推不出一定是 ，即推不出 ;
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，
故选：B
4. 已知 ，
为
单位向量，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得 ，即 ，解方程即可得出结果.
【详解】因为 ， 为单位向量，若 ，
得 ，即
所以 ，
解得： ，又因为 ，所以 .
故选:C
5. 的展开式中 （即分子 a的指数和分母 b的指数相同）项的系数为（ ）
A. B. 15 C. D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】根据二项式展开式通项公式求解即可.
【详解】通项公式 ，由 可得 ，故 ，系数为 .
故选:B
6. 若直线 l与三次函数 有三个公共点且公共点
的
横坐标成等差数列，则直线 l （ ）
A. 经过定点 B. 不经过定点 C. 斜率为定值 D. 斜率可为任意实数
【答案】A
【解析】
【分析】先设三个交点，由题意得出 ,再得出定点即可.
【详解】设这三个交点的坐标分别为 ， ， 由题意可得 ，
由于三次函数 的图像是中心对称图形，由 可知， 为 对称中心，
即直线 l经过定点是三次函数的对称中心.
故选:A．
7. 小张同学将一块棱长为 的正方体形状橡皮泥重新捏成一个正四面体（过程中橡皮泥无损失），则该
四面体外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设正四面体的棱长为 a，可求出四面体的高，进而求出其体积表达式，结合正方体体积求出棱长，
从而可求得其外接球的半径，即可求得答案.
【详解】设正四面体的棱长为 a，由题意可得，正方体的体积即为正四面体的体积，
设正四面体如图，F为为底面 的中心，E为 的中点，F在 上，
O为正四面体外接球的球心，则 为四面体的高，O在 上，
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