浙江省绍兴市第一中学2024届高三下学期4月创新班联合测评二数学试卷

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2024 届绍兴第一中学高三四月(创新班)联合测评二
数学试卷
本试卷共 6页，19 题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。
考试时间：2024 年4月3日下午 13: 00—15: 00
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷、草稿纸和答题卡上，并将
准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在
试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试卷、草稿纸和答题卡一并上交，禁止带出考场。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，总计 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1. 数据{11.3 , 15.5 , 16.1 , 12.1 , 13.5}的第 60 百分位数是( )
A. 13.5 B. 14.5
C. 12.8 D. 16.1
2. 已知
eiθ=cosθ +isinθ
,则在下列表达式中表示
sinθ
的是( )
A. B.
C. D.
3. 对于集合 A,B，定义 A\B={
x∨x∈A x且∉B
}，则对于集合 A={
x∨x=6n+5,n ∈N
}，B={
y∨y=3m+7,m∈N
}，C={
x∨x∈A B , x且<1000
},以下说法正确的是( )
A.若在横线上填入”∩”，则 C的真子集有 212-1 个.
B.若在横线上填入”∪”，则 C中元素个数大于 250.
C.若在横线上填入”\”，则 C的非空真子集有 2153-2 个.
D.若在横线上填入”∪
∁N
”，则
C中元素个数为 13.
4.空气膜等厚干涉是一个有趣的光学现象，如左图所示，当一块玻璃在另一块平板玻璃上
方时，让光线垂直照射就会出现明暗相间的条纹.同一条纹上两玻璃之间的空气间隙厚度一
致.现有一圆锥形玻璃，底面周长为 24
π
，母线长为 13.将其顶点朝下放置于平板玻璃上，
并且使得底面与平板玻璃的夹角
α
近似满足 sin
α
=
4
13
，用光垂直照射，则得到的条纹形状
为( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
5. 已 知 :对于任意的正数 x,y ，z≤2
❑
√
xy
，若满足 x+y=1 ， 则
x2+y2+1
xy +❑
√
5x2+5y2+z2+10 xy −3xz −3yz>k .
那么 k的最大值是( )
A. 6+
❑
√
3
B. 6+
❑
√
11
2
C. 8+
❑
√
3
D. 8+
❑
√
11
2
6.三个相同的圆柱的轴线
l1,l2,l3
，互相垂直且相交于一点 O.底面半径为 1.假设这三个圆柱
足够的长，P同时在三个圆柱内(含表面)，则 OP 长度最大值为( )
A. 1 B.
❑
√
6
2
C.
❑
√
2
D.
❑
√
10
2
7.现有 a=
ln 2025
2023
, b=
1
1012
, c=
sin 1
1012 −cos 1
1012 +1
,则
a , b , c
大小关系为( )
A. a>c>b B. c>b>a C. c>a>b D. a>b>c
8.单位向量 a,非单位向量 b满足|
a+b
|=
1
2a · b
+2，若存在两个均满足此条件的向量 b1,b2，
使得
b1+b2=λ(b2+a)
,设a,b1,b2在起点为原点时，终点分别为A,B1,B2.则S△AB1B2的最大
值( )
A.
2❑
√
3
B.3 C. 4 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列条件能确定唯一一个三角形
ABC
的是( )
A.
B
=
π
3
，
a
=8，
BC
边上中线长 AD=
4❑
√
3
.
B. S=
bc cos A
，
a
=4=(1-
❑
√
3
3
)
bc
.
C.
tanA+tanB+tanC − 2❑
√
3tanAtanBcosC=0
，
b
=2，
c
=3.
D. c=b
cosA
，
a
=2，S△=1.
10. 对于任意的两点
A
(
x
1,
y
1)，
B
(
x
2,
y
2)，定义 AB 间折线距离
d
AB=|
x
1-
x
2|+|
y
1-
y
2|，反折线
距离
l
AB=|
x
1-
y
2|+|
x
2-
y
1|，
O
表示坐标原点.下列说法正确的是( )
A.
d
AB+
d
BC
≥
dAC.
B. 若
d
AB<
l
AB，则(y1-x1)(y2-x2)≥0.
C. 若
AB
斜率为
k
，
d
AB=
1+k
❑
√
1+k2∨AB∨¿
.
D. 若此时存在四个点 P(x,y)使得
d
OP=1,且
x
2+(
y
-
r
)2=
r
2(r>0),则
r
的取值范围(
❑
√
2−1，1
2
).
11. 孔明锁是中国古代传统益智游戏.左下图即是一个孔明锁.其形状可视为右下图所示的一
个几何体：
如图，三个轴线相互垂直的长方体的公共部分为一个棱长为 1的立方体ABCD-A1B1C1D1，且
E1E2=M1M2=I1I2=5，E1D=E2D1，I1D=I2A，M2D=M1C，P为其表面上的一个动点，球O为能够
使该几何体在其内能够自由转动的最小球体.其中 Q为球O上的一个动点，以下说法正确的
A. |PQ|最大值为
❑
√
3
.
B. 若P在公共正方体的外接球上，那么其轨迹长度为
6❑
√
2π .
C. V
Q
-
E
1
J
1
M
1∈
[2
3,16
3]
D. 若P满足
PA
+
PB
=
❑
√
2
，则
P
的轨迹长度为
┌
(
❑
√
2
2，1
2
)+
❑
√
2π
2
注：
┌
(
a
,
b
)表示椭圆
x2
a2+y2
b2=1
的周长大小
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，总计 15 分.
12.双曲线
C:x2
4+y2
3=1
.过P作直线
l
，与双曲线只有一个交点 M，则
l
的斜率为__________
__.
13.若一个 n位数，各位从高到低分别为
a
1,a2,...,an(n≥2)，且满足 a1>a2>...>an，我们便将其称
之为”递减数”.那么正整数之中任取”递减数”，则在其中取到一个偶数概率是________
___.
14.已知“[x]”表示小于 x的最大整数，例如[5]=4，[-2.1]=-3.若
sin ωx
=[x]恰好有四个解，那
么
ω
的范围是______________________.
四、解答题：本小题共 5题，共 77 分，其中第 15 题13 分，16 和17 题15 分，
18 和19 题17 分.
15.已知
f(x)=a ex− x
，
g(x)=cos x
，
（1）讨论
f(x)
的单调性.
（2）若
∃
x0使得
f(x0)=g(x0)
，求参数
a
的取值范围.
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