浙江省绍兴市第一中学2023-2024学年高一素养班下学期期中考试数学试卷daan

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绍兴一中 2023 学年第二学期期中考试
高一（素养班）试卷
命题：沈栋啸 校对：凌晓锋
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 z满足
z=i(2+z)
（i为虚数单位），则
z=¿
A．
1−i
B．
1+i
C．
−1−i
D．
−1+i
2．如图所示，梯形
A'B'C'D'
是平面图形 ABCD 用斜二测画法得到的
直观图，
，
A'B'=B'C'=1
，则平面图形 ABCD 中对角线 AC
的长度为
A．
❑
√
2
B．
❑
√
3
C．
❑
√
5
D．
5
3．已知样本数据
x1, x2,⋯, x100
的平均数和标准差均为 4，则数据
−x1−1,−x2−1,⋯,
−x100−1
的平均数与标准差分别为
A．
−5,4
B．
−5,16
C．
4,16
D．
4,4
4．一个圆锥的侧面展开图是半径为
1
的半圆，则此圆锥的内切球的表面积为
A．
π
B．
π
2
C．
π
3
D．
π
4
5．光源
P
(
3,2,1
)
经过平面
Oyz
反射后经过
Q
(
1,6,5
)
，则反射点
R
的坐标为
A．
(
0,7
2,5
2
)
B．
(
0,4,3
)
C．
(
0,9
2,7
2
)
D．
(
0,5,4
)
分析：设
P'
为
P
关于平面
Oyz
的对称点，则
R
为
P'Q
与平面
Oyz
的交点.
解：
P'
(
−3,2,1
)
, R
(
0, m, n
)
，
⃗
PR=λ
⃗
PQ
，解得
R
(
0,5,4
)
.
6．若
4,2,1,4,5
的第
p
百分位数是
4
，则
p
的取值范围是
A．
(
40,80
]
B．
[
40,80
)
C．
[
40,80
]
D．
(
40,80
)
解：
1,2,4,4,5
的第
p
百分位数是
4
，
则
n×p%∈
(
2,4
)
，所以
p∈
(
40,80
)
.
7．如图是棱长均相等的多面体
EABCDF
，其中四边形
ABCD
是正
方形，点
P ,Q , M , N
分别为 DE,AB,AD,BF 的中点，则异面直线
PQ
与
MN
所成角的余弦值为
A．
1
3
B．
1
2
C．
2
3
D．
3
4
分析：异面直线所成角的求法：平移、向量（基底或建系），本题
选择平移即可.
解：
PQ
与
MN
所成的角即为
∠SBR
，在△
SBR
中即可求得其余弦
值为
2
3
.
8．在正方体
ABCD−A1B1C1D1
中，点
M , N
分别是直线
CD , AB
上的动点，点
P
是△
A1C1D
内的动点（不包括边界），记直线
D1P
与
MN
所成角为
θ
，若
θ
的最小值为
π
3
，则
D1P
与平
面
A1C1D
所成角的正弦的最大值为
A．
3−❑
√
6
6
B．
3+❑
√
6
6
C．
3❑
√
2−❑
√
3
6
D．
3❑
√
2+❑
√
3
6
分析：由线面角的最小性可知，
∠D D1P=π
6
，又平面
A1C1D
的法
线为
B D1
，故只需求
∠B D1P
的最小值即可，由
∠B D1P ≥ ∠B D1D−∠D D1P
计算可得.
解：
sin θ=cos ∠B D1P ≤ cos
(
∠B D1P−π
6
)
=3+❑
√
6
6
. 显然能够取
到.
S
R
N
M
Q
P
D
A
B
C
E
F
C
1
B
1
D
1
A
1
C
A
B
D
P
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．在 12 件同类产品中，有 9件正品和 3件次品，从中任意抽出 3件产品，设事件
A=¿
“3
件产品都是次品”，事件
B=¿
“至少有 1件是次品”，事件
C=¿
“至少有 1件是正品”，
则下列结论正确的是
A．
A
与
C
为对立事件 B．
B
与
C
不是互斥事件
C．
A ∩ B=A
D．
P
(
B
)
+P
(
C
)
=1
10．在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有 20000 人参加考试．为了了解本
次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（成绩均为正整数，满分为 100 分）作
为样本进行统计，样本容量为
n
，按照
[
50,60
)
，
[
60,70
)
，
[
70,80
)
，
[
80,90
)
，
[
90,100
]
的
分组作出频率分布直方图如图所示，其中，成绩落在区间
[
50,60
)
内的人数为 16．则
A．图中
x=0.016
B．样本容量
n=1000
C．估计该市全体学生成绩的平均分为 71.6 分
D．该市要对成绩前
25 %
的学生授予“优秀学生”称
号，则授予“优秀学生”称号的学生考试成绩大约至
少为 77.25 分
11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始
终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶
点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分，如图所示，若正四面体 ABCD
的棱长为 a.则
A．能够容纳勒洛四面体的正方体的棱长的最小值为
a
B．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为
(
1−❑
√
3
2
)
a
C．勒洛四面体中过
A , B , C
三点的截面面积为
1
4
(
2 π−❑
√
3
)
a2
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