四川省雅安市2023-2024学年高三下学期4月月考试题 数学（理） 含解析

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2024 届高三数学试题（理科）
考生注意：
1.本试卷分第 I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
第I卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若集合 ， ，则 B中元素的最大值为（ ）
A.4 B.5 C.7 D.10
2.若圆 C： 与圆 D
：
外切，则 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
3.设 ， 为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，且 ， ，则“ ”是“
”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若复数 的实部为 4，则点 的轨迹是（ ）
A.短轴长为 4的椭圆 B.实轴长为 4的双曲线
C.长轴长为 4的椭圆 D.虚轴长为 4的双曲线
5.函数 是（ ）
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数 D.最小正周期为 的偶函数
6.在平行四边形 中， ，且 ，则四边形 的面积
为（ ）
A.4 B. C.8 D.
7.若函数 的值域为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.设 的整数部分为 ，则数列 的前 20 项和为（ ）
A.210 B.211 C.212 D.213
9.已知函数 ， ，则（ ）
A.当 有 2个零点时， 只有 1个零点
B.当 有 3个零点时， 有 2个零点
C.当 有 2个零点时， 只有 2个零点
D.当 有 2个零点时， 有 4个零点
10. 的最小值为（ ）
A. B.5 C. D.6
11.在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ， ， ， 与底面
所成的角分别为 ， ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
12.已知 0为函数 的极小值点，则 a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.一组样本数据 12，15，12，13，18，10，16，19，15，12 的众数为____________，中位数为_________
__.
14.若x，y满足约束条件 则 的取值范围是____________
15.对于 1个字母串 shanhushu，改变这个字母串中的字母位置顺序，可以得到___________个新的字母串.
16. 已 知 定 义 在 上 的 函 数 满 足 ， ， 则
___________ .
三、解答题：共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17.（12 分）
已知甲社区有 120 人计划去四川旅游，他们每人将从峨眉山与青城山中选择一个去旅游，将这 120 人分为
东、西两小组，两组的人数相等，已知东小组中去峨眉山的人数是去青城山人数的两倍，西小组中去峨眉
山的人数比去青城山的人数少 10.
（1）完成下面的 2×2 列联表，并判断是否有 99%的把握认为游客的选择与所在的小组有关；
去峨眉山旅游 去青城山旅游 合计
东小组
西小组
合计
（2）在东小组的游客中，以他们去青城山旅游的频率为乙社区游客去青城山旅游的概率，从乙社区任选 3
名游客，记这 3名游客中去青城山旅游的人数为 X，求 及 X的数学期望.
参考公式： ，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
18.（12 分）
已知 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，且 ， .
（1）求 A；
（2）若 D为 边上一点，且 ，证明： 外接圆的周长为 .
19.（12 分）
如图，在直三棱柱 中， ， ，D为 的中点.
（1）证明： 平面 .
（2）若以 为直径的球的表面积为 ，求二面角 的余弦值.
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