四川省射洪中学2023-2024学年高三下学期开学考试 数学（理）答案
射洪中学高 2021 级高三下期入学考试
数学 (理科)答案
一、选择题：
1-4:ADCB 5-8：ACBC 9-12：BBDD
二、填空题：
13. -7；14. 1
9；15. 7 7 π
6；16. 1
三、解答题：
17.【小问 1详解】选①：因为数列 an
是等比数列，设公比为 q，S2=6，且 4a2，2a3，a4成等差数列，
所以 a1+a1q=6
4a1q+a1q3=4a1q2
，4 分
解得 a1=2,q=2，5 分
所以 an=2×2n-1=2n；6 分
选②：因为数列 an
是递增的等比数列，a1a4=32，a2+a3=12，
所以 a1a4=a2a3=32
a2+a3=12
，所以 a2=4,a3=8，q=a3
a2
=2，
所以 an=a2qn-2=4×2n-2=2n；
【小问 2详解】由 (1)知：bn=1
log2an⋅log2an+1
=1
n(n+1)=1
n-1
n+1，且 n∈N*，
9 分
所以 T
n=1
1-1
2
+1
2-1
3
+⋯+ 1
n-1
n+1
=1-1
n+1<1.
12 分
18.【小问 1详解】解：因为学生初试成绩 X服从正态分布 N μ,σ2
，其中 μ=65，σ2=152，
则80 =65 +15 =μ+σ，2 分
所以 P X ≥80
=P X ≥μ+σ
=1
21-P μ -σ≤X≤μ+σ
=1-0.6827
2=0.15865，
4 分
所以估计初试成绩不低于的人数为 0.15865 ×1000 ≈159 人.
5 分
【小问 2详解】解：Y的取值分别为 0、10、20、30，6 分
则P Y =0
=1-3
4
×1-3
5
2=1
25 ，P Y =10
=3
4×1-3
5
2+1-3
4
×C1
2×2
5×3
5=6
25 ，
8 分
P Y =20
=3
4×C1
2×2
5×3
5+1-3
4
×3
5
2=9
20 ，P Y =30
=3
4×3
5
2=27
100 .
10 分
故Y的分布列为：
Y0 10 20 30
P1
25
6
25
9
20
27
100
所以数学期望为 E Y
=0×1
25 +10 ×6
25 +20 ×9
20 +30 ×27
100 =19.5.
12 分
高三数学（理科）入学考试参考答案 第 1页（共 4页）
19.【小问 1详解】证明：因为 ∠DAB = ∠ABC =2∠ABD =90°，所以 AB =AD，1 分
因为 △SAB 的面积为 3的等边三角形，即 3
4AB2=3，所以 SA =AB =AD =2，
因为 SD =2 2 ，所以，SA2+AD2=SD2，则 AD ⊥SA，3 分
又因为 AD ⊥AB，SA ∩AB =A，SA、AB ⊂平面 SAB，所以，AD ⊥平面 SAB，
因为 SB ⊂平面 SAB，所以，AD ⊥SB.5 分
【小问 2详解】取 AB 的中点 E，连接 SE，因为 △SAB 为等边三角形，则 SE ⊥AB，
又因为 AD ⊥平面 SAB，以点 E为坐标原点，AD
、EA
、ES
的方向分别为 x、y、z轴的正方向建立如下
图所示的空间直角坐标系，则 E0,0,0
、S0,0,3
、D2,1,0
、A0,1,0
、C1, -1,0
，
8 分
SA
=0,1, - 3
，SD
=2,1, - 3
，SC
=1, -1, - 3
，
设平面 SCD 的法向量为 n
=x,y,z
，则 n
⋅SD
=2x+y-3z=0
n
⋅SC
=x-y-3z=0
，
取z=3，可得 n
=2, -1,3
，易知平面 SAB 的一个法向量为 m
=1,0,0
，
10 分
所以，cos m
,n
=m
⋅n
m
⋅n
=2
2 2 ×1=2
2，所以平面 SAB 与平面 SCD 所成角的余弦值为 2
2．
12 分
20.【小问 1详解】由题设 lA1G方程为 bx +ax -ab =0因为 lA2G与圆 x2+y2=8
3相切，
所以：d2=a2b2
a2+b2=8
3,3 分
∵a
c=2⇒a2
b2=1
2，所以 a2=8,b2=4，所以椭圆方程为 x2
8+y2
4=1
5 分
【小问 2详解】由 (1)知F
1的坐标为 -2,0
，
①当直线 l的斜率不存在时，AB
=2 2 ，|OQ|2=8，则 2 2 AB
|OQ|2=1；6 分
②当直线 l的斜率存在且不为 0时，设直线 l的方程为 y=k x +2
且k≠0，
联立
y=k(x+2)
x2
8+y2
4=1
，得 2k2+1
x2+8k2x+8k2-8=0，
设A x1,y1
，B x2,y2
，则 x1+x2=-8k2
2k2+1，x1x2=8k2-8
2k2+1，8 分
AB
=1+k28k2
2k2+1
2-4×8k2-8
2k2+1=4 2 k2+1
2k2+1，
设点 Q(x0,y0)，则 y0
x0
=- 1
k，即 x0=-ky0，代入椭圆方程得 -ky0
2
8+y2
0
4=1，
解得 y2
0=8
k2+2，x2
0=8k2
k2+2，所以 |OQ|2=x2
0+y2
0=8k2+1
k2+2，10 分
高三数学（理科）入学考试参考答案 第 2页（共 4页）
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