四川省射洪中学2023-2024学年高二上学期第三次质量检测试题 数学答案

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答案第 1页，共 4页
高2022 级第三学月月考（数学）参考答案
1.D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.B 7.C 8.D 9.BD 10．ACD 11．AC 12．ACD
8.【详解】圆
2 2
: ( 4) 1M x y  
，所以圆心
(4,0)M
，半径为 1．
设
0
(P x
,
0)y
，在双曲线
2 2
1
9 7
x y
 
右支上一个动点，且
03x
，
所以
2 2
( ) ( ) ( ) ( )PA PB PM MA PM MB PM MA PM MA PM MA    
     
,
2
00
16 8 8
9x x  
对称轴为
9
4
x
,开口向上，因为
03x
，所以当
03x
时，
PA PB
 
取最小
值为
16 9 8 3 8 0
9   
．
11. 设等差数列
 
n
a
的公差为
d
，因为
1 7 0a a 
，则
1 1 6 0a a d 
，故
13a d 
，所以
 
11 4
n
a a n d n d 
，所以
40a
，故 A正确；
12. 由于
d
的正负不清楚，故
3
S
可能为最大值或最小值，故 B错误；
13. 因为
 
6 1 1 1 1
6 15 5 3 0S S a d a a d  
，则
1 6
S S
，故 C正确；
14. 因为
3 5 4
2 0a a a 
，所以
3 5
a a 
，即
3 5
a a
，故 D错误．
12. 由椭圆
C
中
2a
，圆
M
中圆心
(0, 2)M
，半径为 1，如下图示，
A：由于
0 2b 
，由图知：当
0 1b 
时椭圆 C和圆 M没有交点，此时离心率
2
2
1 ( ) 4
3,1
2
1
b b
ea
 
 
 
 
 
，对；
B：当
1b
时，令
( , )P x y
，则
2 2
| (| 2)x yMP  
，而
2 2
4(1 )x y 
，
所以
2
3
|2
|28
3( )
3
yMP  
，又
1 1y 
，故
max
28
3
| |MP
，
所以
| |PQ
的最大值为
28
31
，错；
C：由
1 2 2 4PF PF a  
，若
21 3PF PF
，则
1 2
3, 1PF PF 
，
由
2 2
1 2
( 4 ,0), ( 4 , 0)F b F b 
，令
( , )P x y
，且
2
2 2 1 )( 4
x
y b 
，
则
2
2 2
2
2 2
4 9
4 1
x b y
x b y
 
 
，即
2 2 2
2 2 2
(4 ) 8 4 20 0
(4 ) 8 4 12 0
b x b x
b x b x
 
 
，所以
2
2(0, 2]
4
x
b
 
，则
23b
，且
0 2b 
，故
0 3b 
，对；
D：令
( , )Q x y
，若
1 2
3QF QF
，所以
2 2 2 2 2 2
( 4 ) 3[( 4 ) ]x b y x b y    
，则
2 2 2 2
4 4 (4 ) 0x b x b y  
，所以
2 2 2 2
( 2 4 ) 3(4 )x b y b  
，
Q
轨迹是圆心为
2
(2 4 , 0)b
，
半径为
2
3(4 )b
的圆，而
(0, 2)M
与
2
(2 4 , 0)b
的距离为
2
2 5 b
，要使点 Q存在，则
2 2 2
| 3(4 ) 1| 2 5 3(4 ) 1b b b   
，可得
2 2
( 1) 0b 
，且
0 2b 
，
即
1b
，对；
13．2 14．4 15．
7 2 1
2
16．
π
2
15.圆
1
C
：
2 2 4 2 0x y x y  
与圆
2
C
：
2 2 2 4 0x y y  
的方程相减，
可得
1 0x y  
，即直线
AB
的方程为
1 0x y  
.
圆
C
：
2 2
( 3) ( 3) 1x y  
的圆心为
( 3, 3)C
，半径
1r
，
答案第 2页，共 4页
点
( 3, 3)C
到直线
AB
的距离
3 3 1 7 2
2
2
d 
 
，
则圆
C
上的动点
P
到直线
AB
距离的最大值为
7 2 1
2
d r 
，
16.由
2, 120 ,AB BAD E  
为边
BC
的中点知：
π
3
B 
且
1BE
，
易知
1
,AE EC AE B E 
，而
1
EC B E E 
，
1
,EC B E
面
1
B EC
，
故
AE
面
1
B EC
，又
1
B C
面
1
B EC
，所以
1
B C AE
，故
AE
与
1
B C
的夹角
为
π
2
．
设
G
是
1
AB
的中点，又
F
为
1
B D
的中点，则
G F AD
∥
且
1
2
G F AD
，
而
1 1
2 2
EC BC AD 
且
EC AD∥
，所以
G F EC
∥
且
G F EC
，
即
FG EC
为平行四边形，故
EG CF
且
EG CF
∥
，
故
F
的轨迹与
G
的轨迹相同.因为
AE
面
1
B EC
且
11B E
，所以
1
B
的轨迹为以
E
为圆心，1为半径
的半圆，设
AE
的中点为
O
，则
1
1
2
OG B E
，
1
//OG B E
，又
OG
面
1
B EC
，
1
B E
面
1
B EC
，所以
//OG
面
1
B EC
，故
G
的轨迹为以
O
为圆心，
11
2 2
B E
为半径的半圆，所以
F
的轨迹长度为
1
1 π
2π
2 2 2
B E
 
.
17．（1）证明：以
A
为原点，
AB
，
AD
，
1
AA
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立空间直角坐
标系，如图所示；
因为
12 2 2AA AB BC 
，所以
 
0,0,0 , 1,0,0 , 0,1, 0 , 1,1,A B D M m
，
0 2m 
，
 
1,1, , 1,1, 0AM m BD  
 
，
 
1,1, 1,1,0 1 1 0AM BD m  
 
，
所以
AM BD
 
，所以
AM BD
.
（2）
M
是棱
1
CC
的中点，故
 
1,1,0 , 1,1,1C M
，
则
 
1,1,1 , 0,1, 0AM BC 
 
，设异面直线
AM
与
BC
所成角的大小为
，
则
 
1,1,1 0,1, 0 3
cos cos , 3
3
AM BC
AM BC
AM BC
 
 
 
 
，
故异面直线
AM
与
BC
所成角的余弦值为
3
3
.
18．（1）设
 
n
a
公差为
d
，由
9 10
27, 40S S   
得，
1
1
9 8
9 27
2
10 9
10 40
2
a d
a d
 
 
，
解得
15
2
a
d
 
，∴
5 2( 1) 7 2
n
a n n 
；
（2）由
2n
n n
b a 
得
7 2 2n
n
b n 
，
∴
1 2 1
2(1 2 ) ( 1)
5 ( 2) 2 2 6 2 2
1 2 2
n
n n
n n
n n
T S n n n
 
 
   
.
19．（1）由题意
2 2 2
3
2
2
2 2 1
3
c
ea
a
b b
a b c c
 
 
 
 
 
，则椭圆标准方程为
2
21
4
xy 
；
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