四川省仁寿一中北校区2023-2024年高二上学期期末考试数学试题参考答案

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仁寿一中北校区高二上期末考试数学试卷参考答案
一、单选题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 直线
3 3 0x y  
的倾斜角是（ ）A
A.
30
B.
60
C.
120
D.
150
2. 某校进行定点投篮训练，甲、乙、丙三个同学在固定的位置投篮，投中的概率分别
1 2
, ,
2 3 p
，已知每个人
投篮互不影响，若这三个同学各投篮一次，至少有一人投中的概率为
7
8
，则
p
（ ）B
A.
1
5
B.
1
4
C.
1
3
D.
2
5
3. 已知向量
 
0,1,1a
，
，则
b
在
a
上的投影向量为（ ）B
A.
1 1
,1,
2 2
 
 
 
B.
3 3
0, ,
2 2
 
 
 
C.
3 2 3 2
0, ,
2 2
 
 
 
 
D.
2 2
, 2,
2 2
 
 
 
 
4. 若直线
 
12:l y k x 
与直线
2
l
关于点
 
1, 2
对称，则直线
2
l
恒过的定点为（ ）C
A.
 
4,0
B.
 
4, 2
C.
 
4, 4
D.
 
2, 4
5. 若等轴双曲线 C过点
 
1, 3
，则双曲线 C的顶点到其渐近线的距离为（ ）A
A. 1 B.
2
C.
3
D. 2
6. 已知空间直角坐标系中的点
 
1,1,1P
，
 
1,0,1A
，
 
0,1,0B
，则点 P到直线 AB 的距离为（ ） D
A.
6
6
B.
3
6
C.
3
3
D.
6
3
7. 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有
一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌 9块扇面形石板构成第一环，向外每环
依次增加 9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多 9块，向外每环依次也增
加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402
块，则中层共有扇面形石板（ ）B
A. 1125 块B. 1134 块C. 1143 块D. 1152 块
8. 在欧几里得生活的时期，人们就发现了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反
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射后必经过另焦点,已知椭圆
2 2
2 2
: 1( 0)
x y
C a b
a b
 
，从一个焦点
1
F
发出的一条光线经椭圆
C
内壁上一
点
P
反射后经过另一个焦点
2
F
，若
1 2 60F PF  
，且
1
3
2
PF a
，则椭圆
C
的离心率为（ ）D
A.
1
2
B.
3
2
C.
3
4
D.
7
4
二、多选题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.）
9. 已知 a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（ ）AC
A.
2b a c 
是a，b，c成等差数列的充要条件
B.
b ac
是a，b，c成等比数列的充要条件
C. 若a，b，c成等比数列，则
1
a
，
1
b
，
1
c
成等比数列
D. 若a，b，c成等差数列，则
1
a
，
1
b
，
1
c
成等差数列
10. 下列说法中正确的是（ ）CD
A. 方程
2 2 2 1 0x y x  
表示的曲线是圆 B. 椭圆
2 2
1
4 3
x y
 
的长轴长为 2，短轴长为
3
C. 双曲线
2 2
1
16 9
x y
 
的渐近线方程为
3
4
y x 
D. 抛物线
2
2x y
的准线方程是
1
8
x 
11. 如图，三棱柱
1 1 1
ABC A B C-
是各条棱长均等于 1的正三棱柱，
, , ,D E F G
分别为
1 1 1 1
, , ,CC CB AC A B
的
中点，下列结论正确的是（ ）ABD
A.
//GF DE
B.
1
GF B C
C. 异面直线
GF
与
1
AA
所成角为
π
3
D. 直线
DE
与平面
1
A BC
所成角的正弦值为
42
14
12．已知曲线
2
: 4C y x x 
，直线
: 2 2 0l mx y m  
，点 A为曲线 C上的动点，则下列说法正确的是
（ ）BC
A．直线 l恒过定点
(0, 2)
B．当
1m 
时，直线 l被曲线 C截得的弦长为
2 2
C．若直线 l与曲线 C有两个交点，则 m的范围为
4
( , 1]
3
 
D．当
1m
时，点 A到直线 l距离的最小值为
3 2 2
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三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.）
13. 已知向量
 
2,1,5 , 1, 3,a b m 
 
，且
a b
 
，则
b
__________.
11
14. 甲、乙两人约定进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（在三局比赛中，优先取得两局胜利的一方获胜，无
平局），乙每局比赛获胜的概率都为
1
3
，则最后甲获胜的概率是______________．
20
27
15. 如图是某圆拱形桥的示意图，雨季时水面跨度 AB 为6米，拱高(圆拱最高点到水面的距离)为1米．早
季时水位下降了 1米，则此时水面跨度增大到_________米．8
16. 一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳
一格．记跳到第
n
格可能有
n
a
种情况，
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，则
8
S
___________．87
四、解答题（本题共 6小题，共 70 分，其中第 17 题10 分，其它每题 12 分，解答应写出文
字说明证明过程或演算步骤）
17. 已知等差数列
 
n
a
的前
n
项和为
n
S
，且
728S
，
15 120S
.
（1）求等差数列
 
n
a
的首项
1
a
和公差
d
；（2）求证数列
n
S
n
 
 
 
是等差数列，并求出其前
n
项和
n
T
.
【小问 1详解】解：由题意可得
7 1
15 1
7 6
7 28
2
15 14
15 120
2
S a d
S a d
 
 
，解得
11a d 
.
【小问 2详解】证明：由（1）可知
11a d 
，所以
 
1
1 1
2 2
n
n n d n n
S na
，故
1
2
n
Sn
n
.
当
1n
时，
11
1
S
；当
2n
时，
11 1
1 2 2 2
n n
S S n n
n n
 
，因此数列
n
S
n
 
 
 
是等差数列，首项为
1
，公
差为
1
2
.所以等差数列
n
S
n
 
 
 
的前
n
项和
 
2
111 3
1 2 2 4
n
n n
Sn n
T n
 
.
18. 已知圆 C过点
( 3, 2)M
，圆心 C在直线
3 0x y  
上，且圆 C与x轴相切．
（1）求圆 C的标准方程；
（2）过点
(2,3)P
的直线 l与圆 C相交于 A、B两点，若
ABC
为直角三角形，求直线 l的方程．
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