四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高一下学期5月期中考试 数学 Word版含解析

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高 2023 级第二学期半期质量检测数学试卷
时间： 120 分钟 总分：150 分
一、单选题（每题 5 分，共 40 分。每小题只有一个正确选项，选对 5 分，选错 0 分）
1．已知复数 ，则复数 （ ）
A．B．C．D．
2．已知 ，则 的值是（ ）
A．B．C．D．
3．已知非零向量 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
4． 内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ， 的面积为 ，则 （
）
A．B．C．2 D．4
5．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 ，
如图所示， ，则原平面图形的
面积为（ ）
A．B．
C．D．
6．以边长为 2的正三角形的一边所在直线为旋转轴，将该正三角形旋转一周所得几何体的表面积为
（ ）
A．B．C．D．
7．已知正三棱锥 的侧棱与底面边长的比值为 ，若三棱锥 外接球的表面积为 ，
则三棱锥 的高为（）
A．1 B．C．D．
8．在平行四边形 中， 为 的中点， ， 与 交于点 ，过点 的直线分别
与射线 ， 交于点 ， ， ， ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．C．D．
二、多选题（每题 6 分，共 18 分。全部选对得 6 分，少选得部分分，选错得 0 分）
9．已知直线 ， ，平面 ， ，则下列说法错误的是（　　）
A． ， ，则
B． ， ， ， ，则
C． ， ， ，则
D． ， ， ， ， ，则
10． 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c．已知 ，则（ ）
A． 的外接圆半径为 B．
C．D． 为锐角三角形
11．如图，在棱长为 2的正方体 中， 分别是 的中点， 是线段
上的动点，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在点 ，使 四点共面
B．存在点 ，使 平面
C．三棱锥 的体积为
D．经过 四点的球的表面积为
三、填空题（每小题 5 分，共 15 分。请将答案填在答题卡的相应位置）
12．已知向量 ，若 ，则 .
13．正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素．如图，该几何体是一个棱长为 2的正八面体，
则此正八面体的体积与表面积的数值之比为
   
.

14．已知函数 在 上有且仅有三个零点，则 的取值范围是
.
四、解答题（本题共 5 小题，共 77 分.解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤）
15．（13 分）如图，已知四棱锥 中，底面 是平行四边形， 为侧棱 的中点.

(1)求证： 平面 ；
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