四川省仁寿第一中学北校区2023-2024学年高二下学期5月期中考试 数学 Word版含解析

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铧2022 级高二（下）半期质量检测数学试卷
（卷面分值：150 分考 试时间 120 分钟）
一、选择题：本大题共 8个小题，每小题 5分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一个选项是符合题目要求的.
1.乘积 完全展开后的项数是（ ）
A.8 B.9 C.15 D.18
2.若 ，则 的值为（ ）
A.63 B.64 C.127 D.128
3. 的展开式中，含 项的系数为（ ）
A.21 B.189 C.9 D.126
4.从装有 4个红球，2个白球的袋子中，不放回地依次抽取两个小球，在第一次抽到白球的条件下，第二次
抽到白球的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若函数 不存在极值，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知 ，则 的值为（ ）
A.16 B.32 C.64 D.128
7.已知 在函数 的图像上， 在直线 上，则 的最小值为（ ）
A. B.5 C. D.
8.函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且满足 ，若不等式
在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得 6分，有选错的得 0分；若只有两个正确选项，每选对一个得 3分；
若只有 3个正确选项，选对一个得 2分，选对两个得 4分.
9.甲、乙、丙等 5人排成一列，下列说法正确的有（ ）
A.若甲和乙相邻，共有 48 种排法 B.若甲不排第一个共有 96 种排法
C.若甲与丙不相邻，共有 36 种排法 D.若甲在乙的前面，共有 60 种排法
10.已知二项式 的二项式系数和为 32，则下列说法正确的是（ ）
A. B.展开式中只有第三项的二项式系数最大
C.展开式各项系数之和是 243 D.展开式中的有理项有 4项
11.关于函数 ， ，下列说法正确的是（ ）
A.若过点 可以作曲线 的两条切线，则
B.若 在 上恒成立，则实数 的取值范围为
C.若 在 上恒成立，则
D.若函数 有且只有一个零点，则实数 的范围为
三、填空题：本大题共 3个小题，每小题 5分，共 15 分.
12.已知离散型随机变量 的分布列为
0 1
设 ，则 的数学期望 ______.
13.一个长方形，被分为 、 、 、 、 五个区域，现对其进行涂色，有红、黄、蓝、绿四种颜色可
用，要求相邻两区域（两个区域有公共顶点就算相邻）涂色不相同，则不同的涂色方法有______种.
14.已知函数 ，则 的极小值为______；若函数 ，对于任意的
，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是______.
四、解答题：本大题共 5个小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.ChatGPT 是由人工智能研究实验室 OpenAI 于2022 年11 月30 日发布的一款全新聊天机器人棋型，它能
够通过学习和理解人类的语言来进行对话，ChatGPT 的开发主要采用 PLHF（人类反馈强化学习）技术.在
测试 ChatGPT 时，如果输入的问题没有语法错误，则 ChatGPT 的回答被采纳的概率为 ，当出现语法
错误时，ChatGPT 的回答被采纳的概率为 .
（1）在某次测试中输入了 7个问题，ChatGPT 的回答有 5个被采纳.现从这 7个问题中抽取 3个，以 表示
这抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求 的分布列和数学期望；
（2）已知输入的问题出现语法错误的概率为 ，
（i）求 ChatGPT 的回答被采纳的概率；
（ii）若已知 ChatGPT 的回答被采纳，求该问题的输入没有语法错误的概率.
16.已知在 的展开式中，第 2项与第 3项的二项式系数之比是 .
（1）求 的值；
（2）求展开式中的常数项，并指出是第几项；
（3）求展开式中系数绝对值最大的项.
17.第18 届亚足联亚洲杯将于2023 年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是 ， ， ，
， ， .（以下问题用数字作答）
（1）若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，
问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？
（2）若亚洲杯组委会安排这 6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有 1名主裁判，每名裁判只担任
1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中 不担任第一场比赛的主裁判， 不担任第三场比赛的主裁判，
问共有多少种不同的安排方法？
（3）若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到 3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判
只参加 1项活动，问共有多少种不同的安排方法？
18.某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在 ， 两个箱子中， 箱中有 6道选择题和 3道论述题，
箱中有 3道选择题和 2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第
二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子.
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