四川省南充市嘉陵第一中学2023-2024学年高二下学期期中考试 数学 答案

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嘉陵一中高二下期中考试数学试题
1．【答案】D
【分析】利用复合函数的导数公式求导即可得解.
【详解】因为 ，所以 .故选：D.
2．【答案】D
3．【答案】D【分析】由分步计数原理计算.
【详解】四人去看三部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有 种.故选：D
4．【答案】D
【分析】由递推关系求出 ，根据 与其前 项和 的关系可得 是等比数列，根据等比数列的通
项公式与求和公式即可求解.
【详解】由 ， ，得 ,即 ，解得 .
因为 ，所以 ，两式相减得 ，即 .
又 ， ，所以 ，所以 是首项为 2，公比为 3的等比数列，
∴， ．故选:D.
5．【答案】B
【分析】根据题意分析可知 在 上单调递减，结合函数单调性解不等式.
【详解】由 ，得 ，
因为 ，则 ，可知 在 上单调递减，且 ，
由不等式 可得 ，解得 ，所以不等式 的解集为 .故选：B
6．【答案】C
【分析】根据题意，得到 构成公比 的等比数列，设
，得到 ，进而求得 的值.
【详解】由等比数列 中，公比 ，
可得 构成公比 的等比数列，
设 ，则 ，
因为数列 的 87 项和 ，所以 ，解得 ，所以 .
故选：C.
7．【答案】D
【分析】利用组合数的性质求出 的值，再利用组合数的性质可求得 的值.
【详解】因为 ，则 ，解得 ，
故
.故选：D.
8．【答案】A
【分析】令 ，得到 ， 关于 的函数式，进而可得 关于 的函数式，构造函数利
用导数研究单调性并确定最值，即可求 的最小值.
【详解】令 ，则 ， ， ， ，所以 ，
若 ，则 ， ，有 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增， ，
即 的最小值为 .故选：A.
【点睛】关键点点睛：令 确定 关于 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小
值.
9．【答案】CD
【分析】根据 表达式及 时， 的关系，算出数列 通项公式，即可判断 A、B、C
选项的正误. 的最值可视为定义域为正整数的二次函数来求得.
【详解】当 时， ，又 ，所以 ，则 是递减数
列，故 A错误；
，故 B错误；当 时， ，故 C正确；
因为 的对称轴为 ，开口向下，而 是正整数，且 或 距离对称轴一样远，所以
当 或 时， 取得最大值，故 D正确.故选：CD.
10．【答案】ACD
【分析】取 的中点 ，连接 ，则 平面 ，以点 为坐标原点， 的方向分别
为 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断选项.
【详解】取 的中点 ，连接 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，则 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以， 平面 ，
又因为四边形 为正方形，以点 为坐标原点，
的方向分别为 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
､，
，则 ，故 A正确；
，易知平面 的一个法向量为
，故 与平面 不平行，故 B错误；
由图知直线 与 为异面直线，故 C正确；
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
所以， ，
由图可知，二面角 的平面角为锐角，
故二面角 为 ，故 D正确．故选：ACD．
11．【答案】ABC
【分析】根据题意，转化为 有唯一解，令 ，求得函数 的单调性
和最大值，结合 ，可得 ，求得 ，进而求得函数 的的单调性和极值.
【详解】由方程 有唯一解，即 有唯一解，
令 ，可得 ，解得 ，
当 ，可得 ；当 ， ；
所以函数 在 内单调递增，在 在单调递减，
所以 ，且当 趋近于 0或 时， 趋近于 ，
由题意可知： ，可得 ，此时 ，故 AB 正确；
此时 ，可得 ，当 ，可得 ；当 ， ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
所以 的极大值为 ，无极小值，故 C正确，D错误；故选：ABC.
12．【答案】
【分析】首先考虑甲连续 天的情况，再其余 人全排列，按照分步乘法计数原理计算可得.
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