四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试 数学（文）答案

3.0 envi 2025-01-15 5 4 125.99KB 4 页 3知币
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绵阳南山中学高 2021 级高三下期绵阳三诊热身考试
数学（文科）
参考答案：
1 -5 DDCBD 6 -10 ACAAC 11．A12．B
13．3 14．{a|a≤0}15．3
22 16．8 3
3π
17．(1)没有 95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异 (2)7
10
【详解】(1)根据列联表中的数据，得 χ2=100 ×20 ×20 -20 ×40
2
40 ×60 ×40 ×60 =25
9≈2.778 <
3.841，所以没有 95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异
(2)这100 名学生中男生 60 人，女生 40 人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取 5人，
则抽取的男生有 3人，女生有 2人，
设男生为 A1，A2，A3；女生为 B1，B2．
则从这 5人中选出 2人的组合有 A1,A2
，A1,A3
，A1,B1
，A1,B2
，A2,A3
，
A2,B1
，A2,B2
，A3,B1
，A3,B2
，B1,B2
共10 种，
其中至少有 1人为女生的组合有 A1,B1
，A1,B2
，A2,B1
，A2,B2
，A3,B1
，
A3,B2
，B1,B2
共7种，
故所求概率为 P=7
10 .
18．(1)证明见解析 (2)2023
【详解】(1) ∵ an+1=3an
2an+1，∴1
an+1
=2an+1
3an=1
3⋅1
an+2
3，
可得 1
an+1
-1=1
3⋅1
an+2
3-1=1
3
1
an-1
，
又由 a1=3
5，所以 1
a1
-1=2
3，则数列 1
an-1
表示首项为 2
3，公比为 1
3的等比数列.
(2)由(1)可得 1
an-1=2
3×1
3
n-1=2⋅1
3
n，所以 1
an=2⋅1
3
n+1.
设数列 1
an
的前 n项和为 Sn，
则Sn=1
a1
+1
a2
+1
a3
+⋯+ 1
an=21
3+1
32+1
33+⋯+ 1
3n
+n
=2×
1
31-1
3
n
1-1
3
+n=n+1-1
3n，
若Sn<2024，即 n+1-1
3n<2024，因为函数 y=x+1-1
3x为单调递增函数，
所以满足 Sn<2024 的最大整数 n的值为 2023.
19．(1)证明见解析 (2)1
32 a3．
【详解】(1)在三棱锥 B-AEF 中，
答案第 1页 共 4页
因为 AB ⊥BE，AB ⊥BF ，BE ∩BF =B，BE,BF ⊂面BEF,
所以 AB ⊥面BEF．又 EF ⊂平面 BEF ，所以 AB ⊥EF ；
(2)因为在 △ABF 中，M、N分别为 AB、BF 的中点，
所以四边形 AMNF 的面积是 △ABF 面积的 3
4．
又三棱锥 E-ABF 与四棱锥 E-AMNF 的高相等，
所以，四棱锥 E-AMNF 的体积是三棱锥 E-ABF 的体积的 3
4，
因为 V
E-ABF=V
A-BEF ，所以 V
E-AMNF=3
4V
A-BEF．
因为 V
A-BEF=1
3S△BEF×AB =1
3×1
2×BE ×BF ×AB =1
24 a3．
所以 V
E-AMNF=3
4×1
24 a3=1
32 a3，故四棱锥 E-AMNF 的体积为 1
32 a3．
20．(1)f1
=2e (2)2
【详解】(1)当a=e时，f x
=ex-elnx+e，
所以 fx
=ex-e
x,x∈0,+∞
，
易知 fx
在0,+∞
上单调递增，且 f1
=0，
所以当 x∈0,1
时，f(x) < 0,f x
在0,1
上单调递减，
当x∈1,+∞
时，fx
>0,f x
在1,+∞
上单调递增，
所以 f x
在x=1处取得极小值 f1
=2e.
(2)因为 a>0，所以 f x
≥ka 恒成立等价于 ex
a-ln x
a≥k恒成立.
设g x
=ex
a-ln x
a，则 gx
=ex
a-1
x，易知 gx
=ex
a-1
x在0,+∞
上单调递增，且
当x→0时，gx
→-∞，当 x→+∞时，gx
→+∞，
所以 gx
在0,+∞
内存在唯一零点 x0，即 gx0
=ex0
a-1
x0
=0,ex0
a=1
x0
*
，
当x∈0,x0
时，gx
<0,g x
在0,x0
上单调递减，
当x∈x0,+∞
时，gx
>0,g x
在x0,+∞
上单调递增，
所以 g(x)min=g x0
.
结合 *
式，可知：
g x0
=ex0
a-ln x0
a=ex0
a+ln 1
x0
+lna=1
x0
+ln ex0
a+lna=1
x0
+x0≥2，
当且仅当 x0=1,a=e时取等号，
即当 a=e时，g x
的最小值为 2，
要使 g x
≥k恒成立，须 k≤2，即 k的最大值为 2.
21．(1)椭圆 C1所在的标准方程为 x2
16 +y2
12 =1，双曲线 C2所在的标准方程为 x2
2-y2
2
=1
(2)CD
 
⋅HF
2
 
BE
 
⋅GF
2
 
是定值，为 2
4，理由见解析
答案第 2页 共 4页
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