四川省绵阳南山中学2024届高三下学期4月绵阳三诊热身考试 数学（理）答案

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试卷第 1页，共 6页
2021 级高三下期绵阳三诊热身考试试题
理科数学参考答案
一、单选题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
A
A
B
C
C
C
B
A
D
A
D
二、填空题
13．30 14.3 15.
2,
ln 2
 

 
16.
32π
3
三、解答题
17．（Ⅰ）由题意，得
 
0.02 0.032 0.018 10 1a  
， 解得
0.03a
；
又由最高矩形中点的的横坐标为 20，可估计盒子中小球重量的众数约为 20（克）
而
50
个样本小球重量的平均值为：
（克）
故由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为
24.6
克；
（Ⅱ）利用样本估计总体，该盒子中小球重量在
5,15
内的概率为
0.2
则
1
(3, )
5
X B
.
X
的可能取值为
0
、
1
、
2
、
3
，
 
0 3
0
3
1 4 64
05 5 125
P X C  
 
 
 
，
 
2
1
3
1 4 48
15 5 125
P X C  
 
 
 
，
 
2
2
3
1 4 12
25 5 125
P X C  
 
 
 
，
 
3 0
3
3
1 4 1
35 5 125
P X C  
 
 
 
.
X
的分布列为：
X
0
1
2
3
P
64
125
48
125
12
125
1
125
64 48 12 1 3
0 1 2 3
125 125 125 125 5
EX      
.（或者
1 3
35 5
EX  
）
18．（1）设等差数列
n
S
n
 
 
 
的公差为
d
，则
4 1 3
4 1
S S d 
，即
13 5S d 
，①
因为
2 1 2 1 4S a a S 
，所以由
2 1
2 1
S S d 
，得
12 4S d 
．②
试卷第 2页，共 6页
由①、②解得
12, 1S d 
，所以
1
n
Sn
n 
，即
 
1
n
S n n 
，
当
2n
时，
 
11 1 2
n n n
a S S n n n n n
 
，
当
1n
时，
1 1 2a S 
，上式也成立，
所以
 
*
2
n
a n n N
，所以数列
 
n
a
是等差数列；
（2）由（1）可知
1
2
2
2 4 2
n n
n n
b a n n
b a n n
 
 
，
当
2n
时，
 
12
1
1 2 1
1 2 1 12
6
1 3 1
n n
n
n n
b b bn n
b b
b b b n n n n
 
 
  
 
，
因为
16b
满足上式，所以
 
 
*
12 1 1
12
1 1
n
b n
n n n n
 
 
 
 
N
．
1 1 1 1 1 1 12
12 1 12 1 12
2 2 3 1 1 1
n
Tn n n n
 
 
 
 
 
 
 
 
．
19．（1）证明：因为
2 2AC BC 
，所以
1BC
.
因为
23
ACB
 
，所以
6
ACB
 
.
在
ABC
中，
sin sin
BC AC
A B
，即
1 2
sin
sin 6
B
，所以
sin 1B
，即
AB BC
.
又因为平面
ABC
平面
1 1
B C CB
，平面
ABC
平面
1 1
B C CB BC
，
AB
平面
ABC
，
所以
AB
平面
1 1
B C CB
.
又
1
B C
平面
1 1
B C CB
，所以
1
AB B C
，
在
1
B BC
中，
12B B
，
1BC
，
13
CBB
 
，
所以
2 2 2
1 1 1
2 cos 3
3
B C B B BC B B BC
 
，即
13B C
，所以
1
B C BC
.
而
1
AB B C
，
AB
平面
ABC
，
BC
平面
ABC
，
AB BC B 
，
所以
1
B C
平面
ABC
.
又
1
B C
平面
1
ACB
，所以平面
ABC
平面
1
ACB
.
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