四川省绵阳南山中学2023-2024学年高一下学期入学考试 数学(参考答案）

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1
绵阳南山中学 2024 年春季高 2023 级入学考试
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题
题 号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选 项
A
B
D
C
D
A
C
B
BD
ABC
CD
ACD
8.【详解】由三倍角公式有
3
cos54 4cos 18 3cos18 sin36 2sin18 cos18  
 
，
化简得
，
2
4sin 18 2sin18 1 0  
 
，解得
5 1
sin18 4
（负值舍去），
2sin18t 
.故选：B.
12.【详解】对于 A，若
a b
，
( )y f x
定义域为全体实数，关于原点对称，
且此时
   
 
 
 
e e e e
x
x x x
f x a a f x
 
 
 
，即
( )y f x
为偶函数，故 A正确；
对于 B，若
1, 1a b ab  
，则
 
 
e e 0
x x
f x
 
，故 B错误；
对于 C，若
1, 2a b 
，则
   
2
2 e 3e 2
3 e 3
e e
x x
x
x x
g x f x  
   
，令
 
0g x
，
解得
e 1
x
或
e 2
x
，即
0x
或
ln 2x
，所以函数
( ) 3y f x 
的零点为 0和
ln 2
，故 C正确；
对于 D，若
( )y f x
为奇函数，则
 
0 0f a b  
，即
 b a
，经检验
 b a
符合题意，
由题意不等式
 
2 2
e e e e 0
x x x x
a
 
 
在
 
,0
上有解，而在
 
,0
上有
e e>1>
x x
，
所以
2 2
e e
e e
x x
x x
a
在
 
,0
上有解，不妨设
 
, 0e 0e
x x
t x
 
，则
 
22 2
2
e + 2e e e
x x x x
t 
 
，所以
22 2t
a t
t t
 
关于
t
在
 
0,
上面有解，
由基本不等式得
22 2 2 2
t
a t
t t
 
，等号成立当且仅当
2e e
x x
t
 
即
6 2
ln 2
x 
 
 
 
时等号成立，综上所述，a的最小值为
2 2
，故 D正确.
故选：ACD.
三、填空题（每个小题 5 分，共 20 分）
13.
xln
14.
3
3
15.
 
,10,
16. 5
16.【详解】
 
2
5
2
3
13ln
2
1
2
5
2
3
13ln 2222 xxxx
6)13()13ln( 2xx
令
 
ex
g x x 
，显然
 
g x
在
R
上单调递增，
,6)( 1
11 x
exxg
2
又
6)13()13ln()13ln()]13[ln( 22
)13ln(
22
2xxexxg x
所以
5361313ln( 211212
1xxxexxx x
）
,故答案为：5
四、解答：（共 70 分）
17．解（1）原式=
 
1 3 1
3 4 2
42 4 2
2 3
25 2 ln3 2ln 2 2 48
16 ( ) log 3 log 4 (2 ) [( ) ] 8 2
4 5 ln 2 ln3 5 5
 
..5 分
（2）原式=
2 2
2 2
1 2sin 40 cos 40 sin 40 cos 40 2sin 40 cos 40
cos 40 1 cos 140 cos 40 sin 140
   
 
 
 
2
(cos 40 sin 40 cos 40 sin 40 1
cos 40 si s
)
n140 cos 40 in 40
   
 
 
 
..........10 分
18．解（1）由
1 1
( ) 4
32 2
x
 
得，
5 2
2 2 2
x 
 
，∴
5 2x  
，即
2 5x 
，
∴
{ | 2 5}P x x  
，当
xZ
时，则
{ 2, 1,0,1, 2,3, 4,5}P 
共
8
个元素，
故集合
P
的真子集的个数为
8
2 1 255 
.........5 分
（2）∵
P Q Q 
，∴
Q P
．
当
Q
时，满足
Q P
，此时则有
1 2 1k k 
，即
2k
..............7 分
当
Q
时，由于
Q P
，则有
1 2 1
1 2
2 1 5
k k
k
k
 
 
 
，解之得
2
3
3
k
k
k
 
，∴
2 3k 
．
综上所述：
3k
................12 分
19．解：（1）∵
 
sin sin cos
2
 
 
 
 
 
，
∴由诱导公式化简得：
sin cos cosα α α 
，∴
tan 2
...........2 分
∴
2 2
2 2
2 2
3sin 2 cos 2sin cos
3sin 2 cos 2sin cos sin cos
 
   
 
 
2
2
3tan 2 2 tan 18
tan 1 5
 
 
 
............6 分
（2）∵
1
sin cos 5
 
 
，∴
1
1 2sin cos 25
 
 
，∴
12
sin cos 25
 
 
，
∴
 
249
sin cos 1 2sin cos 25
 
 
，又∵
为第二象限角，∴
sin cos 0
 
 
，
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