四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试 数学（文） 答案 文科数学

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2024 年 2 月
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绵阳南山中学高 2021 级高三下期入学考试试题
文科数学答案
一、选择题
1-6 C B D B CA 7-12 B A D B D C
11．【详解】令
1
( ) ( ) ( 0)g x f x x
x
 
，则
2
2 2
1 ( ) 1
( ) ( ) x f x
g x f x x x
 
 
，
因为
0x
时，
2( ) 1 0x f x  
，所以
2
2 2
1 ( ) 1
( ) ( ) 0
x f x
g x f x x x
 
 
，
即函数
1
( ) ( )g x f x x
 
在
 
0, 
上单调递增；
又
 
5
22
f
，所以
；
由
 
12
ln
f lnx x
 
得
 
12
ln
f lnx x
 
，所以
(ln ) (2)g x g
，因此，
ln 2x
，解得
2
x e
.
12．如图所示，由题意得
(1,0)F
，
2 2
1 1 1
(| | | |) (| | | |) (| | | |)
'2 2 2
=| | | | 2
| | | | 2 | || | cos 3
AG BH AF BF AF BF
MM
AB AB AB AF BF AF BF
 
 
 
2 2 2
1 1
(| | | |) (| | | |)
2 2
| | | | | || | (| | | |) | || |
AF BF AF BF
AF BF AF BF AF BF AF BF
 
 
 
2
2
1(| | | |)
2
(| | | |)
(| | | |) 4
AF BF
AF BF
AF BF
 
1(| | | |) 3
2
3
3(| | | |)
2
AF BF
AF BF
 
当且仅当：
| | | |AF BF
时，
'MM
AB
有最大值
3
3
.
二、填空题
13. 8 14. 4 15.
Zkk
0,
3
2
16.
2
17
16.设
2AB m
，
2AC n
，由题设得
4m n 
，
由题设，三棱锥
P EFG
中
3FG PE 
，
EF PG m 
，
EG PF n 
，
2024 年 2 月
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将
P EFG
放在棱长为
x
，
y
，
z
的长方体中，如图，
则有
2 2 2
2 2 2
2 2 2
3x y
y z m
z x n
 
 
 
，则三棱锥
P EFG
的外接球就是长方体的外接球，
所以
 
2 2 2 2 2 2
1
(2 ) 9
2
R x y z m n   
，
由基本不等式
2
2 2 ( ) 8
2
m n
m n
 
，当且仅当
2m n 
时等号成立，
所以外接球表面积
 
21 17π
4π 9 8 π
2 2
S R  
.
三、解答题
17.解：（1）选择条件①：由
2
sin sin 1
sin sin
A B c
B A ab
 
及正弦定理，得：
2
1
a b c
b a ab
 
，
即
2 2 2
a b c ab  
，由余弦定理，得
2 2 2 1
cos 2 2 2
a b c ab
Cab ab
 
 
,
因为
0C
 
，所以
2
3
C
；
选择条件②：由
( 2 )cos cos 0a b C c A  
及正弦定理，
得：
(sin 2sin )cos sin cos 0A B C C A  
，即
sin cos cos sin 2sin cosA C A C B C  
.
即
sin( ) 2sin cosA C B C  
.
在
ABC
中，
A B C
 
，所以
sin( ) sin( ) sinA C B B
 
，
即
sin 2cos sinB C B 
，因为
0B
 
，所以
sin 0B
，所以
1
cos 2
C 
,
因为
0C
 
，所以
2
3
C
；
选择条件③：由
3 sin sin
2
A B
a c A
及正弦定理，得：
3 sin sin sin sin
2
A B
A C A
，
因为
0A
 
,
sin 0A
，所以
3 sin sin
2
A B C
.
在
ABC
中，
A B C
 
，则
sin cos
2 2
A B C
，故
3 cos 2sin cos
2 2 2
C C C
.
因为
0C
 
，所以
cos 0
2
C
，则
3
sin 2 2
C
，故
2
3
C
；
（2）因为
ADC BDC
 
，所以
2 2 2 2
4 4 0
2 2 2 2
CD b CD a
CD CD
   
 
   
，
2024 年 2 月
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整理得
2 2 2
2 8CD a b  
，
在三角形
ABC
中，由余弦定理得
2 2 2 2 2
2
4 2 cos 3
a b ab a b ab
   
.
因为
2 2
2
a b
ab
，当且仅当
a b
时取等号，
所以
   
2 2 2 2 2 2 2 2
1 3
16 2 2
a b ab a b a b a b    
，即
2 2 32
3
a b 
，
所以
2 2 2 32 8
2 8 8
3 3
CD a b    
，即
2 3
3
CD
，
即
CD
长度的最小值为
2 3
3
.
18.解：（1）
2 4 5 6 8 5
5
x   
 
，
3 4 4 4 5 4
5
y   
 
，
所以
   
5
1
3 1 1 0 0 0 0 3 1 6
i i
i
x x y y
   
，
由于
 
52
1
9 1 0 1 9 20
i
i
x x
   
，
 
52
1
1 0 0 0 1 2
i
i
y y
   
相关系数
 
  
5
1
5 5
2 2
1 1
6 9 0.95
10
2 5 2
i i
i
i i
i i
x x y y
r
x x y y
 
 
 
 
 
，
因为
0.75r
，所以 y与x具有较强的线性相关关系．
（2）将地点 1，2，3，4，5分别记为 A，B，C，D，E
任抽 2个地点的可能情况有
 
,A B
，
 
,A C
，
 
,A D
，
 
,A E
，
 
,B C
，
 
,B D
，
 
,B E
，
 
,C D
，
 
,C E
，
 
,D E
，共 10 种情况，
其中在地点 3，4，5，甲型无人运输机指标数均高于乙型无人运输机指标数，即
 
,C D
，
 
,C E
，
 
,D E
3种情况，故所求概率为
3
10
．
19.解：（1）在四棱锥
P ABCD
中，
/ /AD BC
，
BC CD
，
2 2 2 2BC CD AD 
，
四边形
ABCD
是直角梯形，
90ADC
，
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