四川省绵阳南山中学2023-2024学年高三下学期入学考试 数学（理） 答案 理科数学

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绵阳南山中学高 2021 级高三下期入学考试试题
理科数学答案
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分。
1-5:BCADA 6-10 :BACDC 11 -12 :AD
二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分，共 20 分
13.0 14.-2 15. 3 16. 27π
16
三、解答题：共 70 分。
17. 解(1) (1)当n=1时，2a1=3a1-2,∴ a1=2，当 n≥2时，2Sn=3an-2,∴ 2Sn-1=3an-1-2，
两式相减，得 2an=3an-3an-1,∴ an=3an-1，又 a1=2≠0，所以数列 an
为等比数列，首项为 2，公比为
3，
所以数列 an
的通项公式是 an=2⋅3n-1.6分
(2)由(1)知，bn=2n-1
2an= (2n-1) ⋅ 3n-1，T
n=1×30+3×31+5×32+ ⋯+ (2n-1) × 3n-1，
则有 3T
n=1×31+3×32+5×33+ ⋯+ (2n-3) × 3n-1+ (2n-1) × 3n，
两式相减得：-2T
n=1+2 3 +32+33+ ⋯+3n-1
- (2n-1) × 3n=1+2×3 1 -3n-1
1-3- (2n-1) × 3n
=- (2n-2) × 3n-2，于是得 T
n= (n-1) ⋅ 3n+1，因为 n∈N*且n≥2，2T
n-1
≥ (n-1)λ,∴ λ≤2⋅
3n，
当n≥2时，数列 2⋅3n
是递增数列，所以 2⋅3n的最小值为 18，
因此 λ≤18. 12 分
18. 解(1)如图，连接 A1C，在 △A1AC 中，A1A=2，AC =1，∠A1AC =60°，
由余弦定理，得 A1C2=AA2
1+AC2-2AA1⋅AC ⋅cos∠A1AC =4+1-2×2×1×1
2=3，
所以 A1C=3，所以 A1C2+AC2=A1A2，所以 A1C⊥AC ，
同理 A1C⊥BC ，又 BC ∩AC =C，AC ，BC ⊂平面 ABC ，
所以 A1C⊥平面 ABC ，又 A1C⊂平面 A1ACC1，
所以平面 ABC ⊥平面 A1ACC1．6分
(2)由平面几何知识可知，AC ⊥CP，
以C为坐标原点，以 CA,CP，CA1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz，
第1页共4页
则A1,0,0
，B-1
2,3
2,0
，A10,0,3
，所以 AA1
= -1,0,3
，AB
= - 3
2,3
2,0
设平面 A1AB 的法向量为 m
=x1,y1,z1
，则 m
⋅AA1
=-x1+3z1=0
m
⋅AB
=- 3
2x1+3
2y1=0
，令 z1=1，得 m
=
3,3,1
．
又平面 CA1P的法向量为 n
=1,0,0
，∴cos <m
,n
>= 3
3+9+1=39
13 ，
所以二面角 C-A1P-B1的正弦值为 130
13 ．12 分
19. 解(1)根据表格数据可知抽取的女生共 40 人，喜欢观看足球比赛的女生为 40 ×1
4=10 人，
可得得 2×2列联表如下：
男 女 合计
喜爱看足球比赛 50 10 60
不喜爱看足球比赛 10 30 40
合计 60 40 100
根据列联表中的数据计算得 k=100 × (50 ×30 −10 ×10)2
60 ×40 ×60 ×40 =1225
36 ≈34.028 >10.828
根据小概率值 P(K2≥k0) = 0.001 的独立性检验，即认为喜爱观看足球比赛与性别有关联.
6分
(2)按照分层随机抽样的方式抽取 8人，根据抽样比可知其中男生 2人，女生 6人，则 X的可能取值为
0,1,2，
P X =0
=C2
6
C2
8
=15
28 ,P X =1
=C1
6C1
2
C2
8
=3
7，P X =2
=C2
2
C2
8
=1
28 ，
所以 X的分布列为
X0 1 2
P15
28
3
7
1
28
期望值 E X
=0×15
28 +1×3
7+2×1
28 =1
2.12 分
20.解(1)y2=2px(p>0)，准线为 x=- p
2，点 Q分别向 x轴和准线做垂线，垂足为 M,N，
则MQ
=7p，QN
=QF
=8，所以 Q8-p
2,7p
，又点 Q在抛物线上，
所以 7p
2=2p8-p
2
，即 p2-2p=0，解得 p=2或p=0(舍)，
所以抛物线的方程为 y2=4x.5分
(2)点P a,1
在y2=4x上，所以 1=4a，解得 a=1
4，所以 P1
4,1
，设 A x1,y1
,B x2,y2
，
第2页共4页
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