四川省眉山市仁寿县第一中学北校区2024届高三下学期模拟预测试题 数学（理） Word版含解析

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2021 级高三下学期高考模拟试题
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ，则 （）
A．B．C．D．
2．已知 ，则 的虚部为（）
A．2 B．4 C．D．
3．秦九昭是我国南宋时期的数学家，普州（现在四川安岳人），他在所著的
《数书九章》中提出的多项式求值的秦九昭算法，至今仍是比较先进的算法，
如图所示的程序给出了利用秦九昭算法求多项式值的一个实例.如输入 的值
分别是 ，则输出的 的值为（）
A． B．C． D．
4．已知向量 ， 满足 ， ， ，则向量 在向量 方
向上的投影向量为（）
A．B．C．D．
5．已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 ， 则 的值为
（）
A．1 B．C．D．-1
6．甲、乙两名游客慕名来到四川旅游，准备分别从九寨沟、峨眉山、海螺沟、都江堰、青城山这 5
个景点中随机选一个．事件 ：甲和乙选择的景点不同，事件 ：
甲和乙恰好有一人选择九寨沟．则条件概率 （）
A． B． C． D．
7．鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶镶嵌着一汪小湖，
传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有时风激
鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，
为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚 A测得山顶 P的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上
走了 90 米到达 B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在 B处测得山顶 P的仰角为 ，则鼎湖峰
的山高 PQ 为（）米
A．B．C．D．
8．已知动直线 与圆 （圆心为 ）交于点 ，则弦
最短时， 的面积为（）
A．3 B．6 C．D．
9．永定土楼.位于中国东南沿海的福建省龙岩市，是世界上独一无二的
神奇的山区民居建筑，是中国古建筑的一朵奇葩.它历史悠久 风格独特､，
规模宏大 结构精巧､.土楼具体有圆形，方形，五角形，八角形，日字形，
回字形，吊脚楼等类型.现有某大学建筑系学生要重点对这七种主要类型
的土楼依次进行调查研究.要求调查顺序中，圆形要排在第一个或最后一
个，方形 五角形相邻，则共有（､）种不同的排法.
A．B．C．D．
10．在平行四边形 中， ， ， ，沿 将 折起，则三棱锥
的体积最大时，三棱锥 外接球的表面积为（）
A．B．C．D．
11．如图，在直三棱柱 中， ， ，
为线段 的中点， 为线段 （包括端点）上一点，则 的
面积的取值范围为（）
A．B．C．D．
12．已知双曲线 左、右焦点分别为 ，过的直线与 的渐近线
及右支分别交于 两点，若，则 的离心率为（）
A．B．2 C．D．3
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13． 的展开式的第四项为.
14．已知不等式组 表示的平面区域不包含点 ，则实数 的取值范围是．
15．在 中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c，若，则
的形状是.
16．已知函数 ，对，不等式
恒成立，则整数 的最大值是
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共 60 分.
17．正项数列 的前 项和为 ，等比数列 的前 项和为 ， ，
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 ．
18．电信诈骗是指通过电话、网络和短信方式，编造虚假信息，设置骗局，对受害人实施远程诈骗
的犯罪行为．随着 时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信诈骗迅速发展蔓延，
不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生．为了调查同学们对“反诈”知识的了解情况，某校进行了一
次抽样调查．若被调查的男女生人数均为 ，统计得到以下列联表．经过计算，依据小
概率值 的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别有关，但依据小概率值
的独立性检验，认为该校学生对“反诈”知识的了解与性别无关．
性别 不了解了解合计
女生
男生
合计
(1)求n的值；
(2)将频率视为概率，用样本估计总体，从全校男生中随机抽取 5人，记其中对“反诈”知识了解的
人数为 X，求 X的分布列及数学期望．
附： ，其中 ．
0.10 0.05
0.02
5
0.01 0.001
2.706 3.841
5.02
4
6.635 10.828
19．如图 1，在 中， ， ， 为 的中点， 为 上一点，且 .
现将沿翻折到 ，如图 2.
(1)证明：.
(2)已知二面角 为 ，在棱上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正
弦值为 ？若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由.
20.已知函数
(1)讨论 的单调性;
(2)当 时,证明:
21.已知椭圆 经过点 ,其右顶点为 。
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)若点
P ,Q
在椭圆
C
上,且满足直线
AP
与
AQ
的斜率之积为 .求
面积的最大
值。
（二）选考题：共 10 分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）在直角坐标系 中，直线 的参数方程为
（ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐
标方程为 ．
(1)求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
(2)若直线 与曲线 交于 ， 两点，点 的极坐标为 ，求 的值．
23．[选修4-5：不等式选讲]（10 分）若a，b均为正实数，且满足 .
(1)求 的最大值；
(2)求证：
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