四川省眉山市仁寿县2024届高三下学期三诊模拟联考试题 数学（文） 含解析

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2021 级高三（下）第三次模拟考试
文科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．若复数 z满足 ，则 的虚部为（）
A．－2B．－1C．1D．2
3．运行图示程序框图，则输出 A的值为（）．
A．170B．165C．150D．92
4．已知数列 满足 ，则“ ”是“
是递增数列”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．在 中， ， 是 的外心， 为 的中点， ， 是直线 上
异于 、 的任意一点，则 （）
A．3 B．6 C．7 D．9
6．已知 是抛物线 上的点， 是圆 上的点，则 的最小值是（）
A．2 B．C．D．3
7．若 ，且 ，则 的值为（）
A．B．C．D．
8．直线 过双曲线 的右焦点 ，且与 的左、右两支分别交于 A，B两点，
点 关于坐标原点对称的点为 ，若 ，且 ，则 的离心率为（）
A．3 B．C．2 D．
9．已知函数 ，则满足不等式 的 的取值范围为（）
A．B．C． D．
10．已知函数 ，关于 的命题：① 的最小正周期为
；② 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 ；③ 图像的对称轴方程为
；④ 图像的对称中心的坐标为 ；⑤ 取最大值时
.则其中正确命题是（）
A．①②③ B．①③⑤ C．②③⑤ D．①④⑤
11．已知函数 ，若 ，则（）
A．B．C．D．
12．已知函数 存在极小值点 ，且 ，则实数 的取值范围为（）
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.
13．已知 为偶函数，则 .
14．已知实数 x，y满足 则 的最大值是 ．
15．如图，已知正方形 的边长为 ，且 ，
连接 交 于 ，则
16．如图，已知 ， ， 为 边 上的两点，且满足 ， ，
则当 取最大值时， 的面积等于
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21 题为必考
题，每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分.
17．已知 为各项均为正数的数列 的前 项和, .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ,若对 恒成立，求实数 的最大值.
18．为提升学生身体素质，鼓励学生参加体育运动，某高中学校学生发展中心随机抽查了 100 名学
生，统计他们在暑假期间每天参加体育运动的时间，并把每天参加体育运动时间超过 30 分钟的记
为“运动达标”，时间不超过 30 分钟的记为“运动欠佳”，运动达标与运动欠佳的人数比为
，运动达标的女生与男生的人数比为 ，运动欠佳的男生有 5人.
(1)根据上述数据，完成下面 2×2 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，分析“运动达标
情况”与“性别”是否有关?
性别
运动达标情况
合计
运动达标
运动欠
佳
男生
女生
合计
(2)现从“运动达标”的学生中按性别用分层随机抽样的方法抽取 6人，再从这 6人中任选 2人进行
体能测试，求选中的 2人中恰有一人是女生的概率.
参考公式： ， .
0.10 0.05 0.01 0.001
2.70
6
3.841
6.63
5
10.828
19．如图，在四棱锥 中，底面ABCD 为直角梯形，
， ， ，点 为 的中点， ，
.
(1)证明： 平面ABCD；
(2)若 ，求直线 与平面所成角的正弦值
20．已知长为 的线段的中点为原点 ，圆 经过 两点且与直线 相切，圆心
的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 分别与曲线 交于点 和点 ，且 ，四边形
的面积为 ，求实数 的值.
21．已知函数 在点 处的切线斜率为 1．
(1)求实数 的值并求函数 的极值；
(2)若 ，证明： ．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的
第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]（10 分）
22．在直角坐标系中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程；
(2)点 分别为曲线 与直线 上的动点，求 的最小值.
[选修4-5：不等式选讲]（10 分）
23．已知函数
(1)求不等式 的解集 ；
(2)设 的最小数为 ，正数 满足 ，求 的最小值.
2021 级高三下学期第三次模拟试题
文科数学参考答案
1．B
【分析】将集合 化简，再由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：B.
2．C
【分析】利用复数除法运算及i的周期性运算即可.
【详解】因为 ，所以 ，
则 ，故的虚部为 1.
故选:C．
3．B
【分析】根据程序框图逐步计算即可.
【详解】因为 ，
所以执行循环体得，
由不成立，
所以执行循环体得，
由成立，所以 ，然后输出 .
故选：B
4．A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断即得.
【详解】当 时， ，则 ， 是递增数列；
反之，当 时， ，数列 递增，因此数列 是递增数列时， 可以不小于
3，
所以“ ”是“ 是递增数列”的充分不必要条件.
故选：A
5．B
【分析】根据外心的性质得到 ，设 ，根据数量积的运算律得到
，再由数量积的定义及几何意义求出 ，从而得解.
【详解】因为 是 的外心， 为 的中点，设 的中点为 ，连接 ，

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