吉林省吉林市2023-2024学年高三上学期第二次模拟考试 数学参考答案（简）(1)

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高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案 第 1页 （共 5页）
吉林地区普通高中 2023—2024 学年度高三年级第二次模拟考试
数学试题参考答案
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．
1
2
3
4
5
6
7
8
C
D
B
D
A
B
C
D
二、多项选择题：本大题共 4小题，共 20 分．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0
分．
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．其中第 15 题的第一个空填对得 2分，第二
个空填对得 3分．
13．
10
9
14．
4
15．
3
228
；
40
16．
或
e
ea
2
1
（注：16 题或写成
1{
2
ae|a e
或
，或写成
)(1,)1 ,(
22
ee ee
）
四 、解答题
17．【解析】
（Ⅰ）
A
小区当年随机抽取的
20
天数据中，供热等级达到“舒适”的有
15
天，所以可以估计
A
小
区一天中供热等级达到“舒适”的概率为
4
3
20
15
，·················································· 2 分
那么，在当年的供热期内，
A
小区供热等级达到“舒适”的天数约为
129
4
3
172
天········································ 3 分
（Ⅱ）由题意，样本空间
中共有
20
个样本点，设
21 ,xx
表示
BA,
两小区室内温度，用
),( 21 xx
表
示可能的结果.
)}20,24(),20,23(),20,21(),19,24(),19,22(),19,21{(C
，
6)( Cn
，
所以，事件
C
的概率
10
3
20
6
)(
)(
)(
n
Cn
CP
. ·················································· 6 分
（Ⅲ）（选择 A）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择
A
小区，理由如下：
①在
20
天的数据中，
A
小区室温大于
B
小区室温的有
14
天，
B
小区室温大于
A
小区室温的
有
5
天，由此可以估计，每天
A
小区室温大于
B
小区室温的概率为
10
7
1P
，
B
小区室温大
于
A
小区室温的概率为
4
1
2P
，
2
P
远远小于
1
P
；
②随机抽取的
20
天中，
A
小区室温平均数为
CT A
05.22
，
B
小区室温平均数为
CT B
7.20
，
BA TT
；
③在随机抽取的
20
天中，
B
小区供热等级达到“舒适”的天数为
9
天，远小于
A
小区供热等级
达到“舒适”的天数；
④
A
小区室温中位数为
CZ A
5.22
，
B
小区室温中位数为
CZB
20
，
BA ZZ
10 分
（选择 B）从供热状况角度选择生活地区居住，应建议选择
B
小区，理由如下：
①在
20
天的数据中，
A
小区中存在供热不达标的情况，而
B
小区供热等级全部达标.
②随机抽取的
20
天中，
A
小 区 室 温 平 均 数 为
CT A
05.22
，
B
小 区 室 温 平 均 数 为
CT B
7.20
，在
BA TT ,
全部达标的情况下，
A
小区室温方差大于
B
小区室温方差，
B
小
区室温波动较小，说明
B
小区供热更加稳定.（
A
小区室温方差为
84.7
2
A
s
，
B
小区室温方
差为
01.4
2
B
s
，以上数值仅作参考，不要求计算方差具体值）.····························· 10 分
赋分说明：
①只做判断没能说明理由的不给分；
②给出一个正确理由的给 3分，给出两个及以上正确理由的给 4分；
③除以上理由外，其它符合统计概率知识的判断依据都可酌情给分.
9
10
11
12
BD
AC
ABD
ACD
高三年级第二次模拟考试数学试题参考答案 第 2页 （共 5页）
18．【解析】
（Ⅰ）证明：
取
BC
中点
G
，连接
EGAG,
，
E
为
CB1
中点，
1
// BBGE
，
1
2
1BBGE
，
在三棱柱
111 CBAABC
中，
1111 ,// BBAABBAA
，
F
为
1
AA
中点，
AFGEAFGE ,//
，
四边形
AGEF
为平行四边形，
GAEF //
，
又
GA
平面
ABC
，
EF
平面
ABC
//EF
平面
ABC
.·································· 5 分
（Ⅱ）解：
在平行四边形
11 AABB
中，
3
,11
ABBAAAB
,
平行四边形
11 AABB
为菱形，
连接
1
AB
，则
11
ΔBAA
为正三角形，
F
为
1
AA
中点，
11 AAFB
，
同理可证
1
AACF
，
又
ACFB
1
，
AAAAC
1
，
FB1
平面
CCAA 11
以
F
为原点，
FCFBFA ,, 1
所在直线分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴，建立如图所示空间直角坐
标系
Fxyz
，
)
2
3
,
2
3
,0(),3,0,0(),0,3,0(),0,3,2(),0,0,1(),0,0,0( 1ECBBAF
，
)
2
3
,
2
3
,1(),3,0,1(),0,3,1( AEACAB
，·································· 8 分
设
),,( zyxn
是平面
ABC
的法向量，
则
ACnABn ,
，
,03
,03
zxACn
yxABn
,3
,3
zx
yx
取
1z
，则
1,3 yx
，
)1,1,3( n
是平面
ABC
的一个法向量，
5
6
5
2
10
1
2
3
)1(
2
3
31
||||
,

nAE
nAE
nAEcos
，
设直线
AE
与平面
ABC
所成角为
，则
5
6
|,| nAEcossin
，
即直线
AE
与平面
ABC
所成角的正弦值为
5
6
.··················································12 分
19．【解析】
（Ⅰ）
AsinsinBsinCCsinBsin 222
由正弦定理可得
bcacbabccb 222222
由余弦定理得
2
1
22
222
bc
bc
bc
acb
cosA
3
),0(
AA
······················································································5 分
设
ABCΔ
外接圆半径为
R
，则
3R
，由正弦定理得
3
2
3
322 RsinAa
····················································································································6 分
注意：求角未写范围扣 1分.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，
3
,3
Aa
由余弦定理
Acosbccba 2
222
得
3
29 22
cosbccb
bccb 3)(9 2
4
)(3
9)(3
2
2cb
cbbc
36)( 2cb
acb
63 cb
.
当且仅当
3cb
时取等号·············································································· 8 分
F
A
E
A
A
1
A
C
B
1
B
1
C
G
F
E
A
1
A
C
B
1
B
1
C
x
y
z
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