江西省吉安市第一中学2023-2024学年高三下学期期中考试数学试题

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高三数学试卷

命题人：审题人：备课组长：

一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则

A．B．C．D．

2．设为单位向量，，当的夹角为时，在上的投影向量为

A．B．C．D．

3．若互不相等的正数满足，则成等比数列

A．成等差数列 B．成等比数列

C．成等比数列 D．

4．双曲线的离心率 e的可能取值为

A．B．C．D．2

5．已知函数，若的值域是，则的值为

A．B．C．D．

6．在中，“ 是正三角形”是“A，B，C成等差数列且成等比数

列”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7．某校高三年级有 8名同学计划高考后前往武功山､黄山､庐山三个景点旅游.已知 8名同学中有

4名男生，4名女生.每个景点至少有 2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与

女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这 8名同学游玩行程的方

法数为

A．564 B．484 C．386 D．640

8．如图，在棱长为的正方体中，点 E，F在线段 BD 上，点 H，G分别在

线段 AD，AB 上，且，，，动点 P在平面内．

若PH，PG 与平面所成的角相等，则 BP 的最小值是

A．B．C．5 D．

二、多项选择题：本题共３小题，每小题 6分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求．全部选对的得 6分，有选错的得 0分，部分答对得部分分．

9．已知复数满足，则

A．B．

C．D．

10．已知，且，则

A．的最大值为 2 B．可能为 3

C．的最大值为 2 D．的最小值为 6

11．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为 3，过的

焦点的直线交于两点，则下列选项正确的是

A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有 3条

B．当时，

C．为钝角三角形

D．的最小值为

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．

12．将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，

则的最小值为．

13．用模型拟合一组数据组，其中 .设，变换后

的线性回归方程为，则．

14．已知向量满足，，则的最大值为

．

四、解答题：本题共 5小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（ 13 分）如图，，分别是直径的半圆上的点，且满足，

为等边三角形，且与半圆所成二面角的大小为，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）在弧上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，

求出点到平面的距离；若不存在，说明理由．

16．（15 分）某运动队为评估短跑运动员在接力赛中的作用，对运动员进行数据分析．运动员

甲在接力赛中跑第一棒、第二棒、第三棒、第四棒四个位置，统计以往多场比赛，其出场率与

出场时比赛获胜率如下表所示．

比赛位

置第一棒第二棒第三棒第四棒

出场率 0.3 0.1 0.2 0.3

比赛胜

率0.6 0.7 0.7 0.7

（1）当甲出场比赛时，求该运动队获胜的概率．

（2）当甲出场比赛时，求该运动队在四场比赛中（每场比赛相互独立）至少获胜 2场的概率．

（3）如果你是教练员，将如何安排运动员甲比赛时的位置？并说明理由．

17．（15 分）已知函数

（1）讨论的单调性；

（2）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值

18．（17 分）已知 T是上的动点（A点是圆心）.定点，线段 TB 的中

垂线交直线 TA 于点 P.

（1）求 P点轨迹；

（2）已知直线的方程，过点 B的直线（不与轴重合）与曲线相交于 M，N两点，过

点M作，垂足为

①求证：直线 ND 过定点，并求出定点的坐标；

②点为坐标原点，求面积的最大值.

19．（17 分）已知数列的前项和为，满足；数列满足，

其中 .

（1）求数列的通项公式；

（2）对于给定的正整数，在和之间插入个数，使，

成等差数列.

（i）求；

（ii）是否存在正整数，使得恰好是数列或中的项？若存在，求出所

有满足条件的的值；若不存在，说明理由.



高三数学参考答案

1．D

【分析】根据一元二次不等式解法和指数函数图象性质求出集

合，即可求得结果.

【详解】解不等式可得 M= ，

由指数函数的值域可得，



故选：D

2．A

【分析】根据题意，结合向量投影的概念与计算，即可求解.

【详解】由设为单位向量，，当的夹角为时，

所以在上的投影向量为 .

故选：A．

3．D

【分析】根据得到，

故选：D

4．A

【分析】由题得到或，再利用离心率，

即可求出结果.

【详解】由，得到或，

当时，，

当，双曲线，

，

所以，

故选：A.

5．C

【分析】画出函数图像。

6．C

【分析】根据给定条件，利用等差、等比数列的定义，结合正

余弦定理及充分条件、必要条件的定义判断即得.

【详解】在中，由 A，B，C成等差数列，得，

而，则，

由成等比数列，得，由正弦

定理得，

由余弦定理得，即，解得

，因此是正三角形；

若是正三角形，则，

，

因此 A，B，C成等差数列且成等比数列，

所以 “ 是正三角形 ” 是 “ A，B，C成等差数列且

”成等比数列的充要条件.

故选：C

7．A

【分析】

先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加

法、乘法计数原理即可得解.

【详解】8人分三组可分为 2人，2人，4人和2人，3人，3人，

共两种情况.

第一种情况分成 2人，2人，4人：女生去同一处景点，当

成2人组时，

其他6人分成 2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有

种方法；

当在 4人组时，有种方法.

第二种情况分成 2人， 3人， 3人：当成 2人组时，有

种方法；

当在 3人组时，有种方法.

故这8名同学游玩行程的方法数为 .

故选：A.

8．B

【分析】证明 FG⊥平面，利用求

得PF 和PE 的关系，在平面中，以 EF 为x轴，其垂直

平分线为 y轴，建立平面直角坐标系，求出 P的轨迹方程，利

用圆的性质即可求解．

【详解】∵ ，且，∴．

又∵ ，且，∴平面．

∵，∴平面．

∴PH，PG 与平面所成角分别为，，则

．

∵，，且， ∴

．

又∵ ，∴，

在平面中，以 EF 为x轴，其垂直平分线为 y轴，建立平

面直角坐标系，

则，，．

设，

由，可得，整理得

，

∴点P在圆心为，半径长为的圆上，

此时BP 的最小值是．

故选：B．

9．BC

【分析】设，代入题干方程求解判断 A，求

复数的模判断 B，根据复数乘方运算及共轭复数的定义判断 C，

利用复数的周期性求和判断 D.

【详解】设，由得

，

即，所以，

解得或，

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