江西省五市九校协作体2024届高三下学期第二次联考数学试卷参考答案

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数学参考答案

选择题：1-4.CBCD 5-8.ACBB 9.AD 10.BCD 11.ABD

填空题：12. -105 13. 2

√

14.

15.【解答】解：（1）当 m＝1时，记事件 A：“所取子集的元素既有奇数又有偶数”．

则集合{1，2，3，4，5}的非空子集数为 251﹣＝31，

其中非空子集的元素全为奇数的子集数为 231﹣＝7，

全为偶数的子集数为 221﹣＝3，

所以所取子集的元素既有奇数又有偶数的概率 P（A）＝．……………………（5

分）

（2）当 m＝2时，î的所有可能取值为 0，1，2，3，4，

P（î＝0）＝＝，

P（î＝1）＝2× ＝，

P（î＝2）＝2× ＝，

P（î＝3）＝＝，

P（î＝4）＝2× ＝，

∴î的分布列为：

î0 1 2 3 4 …………（10 分）

……所以 î的数学期望 E（î）＝ +＝．…………（13

分）

16.【解答】解：（1）当 a＝1时，f（x）＝lnx﹣（x1﹣），

其定义域为，

令f′（x）＞0，解得 0＜x＜1，

∴函数 f（x）的增区间为（0，1）．………………………………………………………………（4

分）

（2）①由f（x）＝lnx﹣a（x1﹣），得，

若a≤0，则 f′（x）＞0，f（x）单调递增；………………………………………………………（6分）

若，

当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；

当a≤0 时，f（x）单调递增，x∈（0，1]时，f（x）max＝f（1）＝0，满足题意；…………（8分）

当时，在 x∈（0，1]时，f（x）max＝f（1）＝0，满足题意；…………………………（10 分）

当时，即 a＞1，在，

令g（x）＝x﹣lnx 1﹣，则，

当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，

∴g（x）＞g（1）＝0，即 a﹣lna 1﹣＞0，不满足题意，

综上，a的取值范围是{a|a≤1}；……………………………………………………………………（ 15

分）

17.【解答】解：（1）设 BC1∩B1C＝O，连接 OA，

∵侧面 BB1C1C为菱形，

∴BC1⊥B1C，且 O为B1C及BC1的中点，

又AC⊥AB1，∴OA＝OC＝OB1，

又AB＝BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，即 BC1⊥OA，

而OA，B1C为平面 AB1C内的两条相交直线，∴BC1⊥平面 AB1C1．…………………………（6分）

（2）∵AB⊥B1C，BC1⊥B1C，AB∩BC1＝B∴B1C⊥平面 ABO，∵AO⊂平面 ABO，∴B1C⊥AO，即

OA⊥OB1，

从而 OA，OB，OB1两两互相垂直．

以O为坐标原点，的方向为 x轴正方向，为单位长度，建立如图的空间直角坐标系 O﹣xyz

∵∠CBB1＝60°，∴△CBB1为等边三角形，

∵AB＝BC，∴ ，

∴，

设是平面 B1AA1的法向量，

则，即，取 x＝1，得，

设是平面 C1AA1的法向量，

则，同理可取，

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