江西省铜鼓中学2024届高三下学期第一次阶段性测试数学试卷

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高三下学期第一次阶段性测试数学试卷
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C．D．
2．已知复数 ，其中 为虚数单位，则 （）
A．B．C．D．
3．已知向量 ， ，且 ，则 （）
A．2 B．3 C．4 D．
4．曲线 在点 处的切线与直线 平行，则 （）
A．B．C．1 D．2
5．已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （）
A．B．C．D．
6．已知双曲线 的离心率为 ，则其两条渐近线所成的锐角的余弦值为
（）
A．B．C．D．
7．从三个班级，每班随机选派两名学生为代表，这六名同学被随机安排在一个圆桌会议室进行
“深度学习与复习”座谈，会议室的圆桌正有好有六个座位，则同一班级的两名同学恰好被安
排在一起相邻而坐的概率为（）
A．B．C．D．
8．赵爽是我国古代著名的数学家，大约在公
元222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，
介绍了“勾股圆方图”．亦称“赵爽弦图”．
如图 1，它是由四个全等的直角三角形与一个
小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图 2，它是由三个全等的钝角三角形与一个
小等边三角形 拼成的一个大等边三角形 ，若图 2中 ， ，则
（）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。全部选对得 5 分，部分选对得部分分，
有错误选项得 0 分）
9．已知 ，则（）
A． B． C．D．
10．如图，正方体 中， ，P为线段 上的动点，
则下列说法正确的是（）
A．B． 平面
C．三棱锥 的体积为定值 D． 的最小值为
11．如图，点 是函数 的图象与直线
相邻的三个交点，且 ，则（）
A． B．
C．函数 在 上单调递减
D．若将函数 的图象沿 轴平移 个单位，得到一个偶函数的图像，则 的最小值为
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．在 的展开式中 的系数为.
13．动点 与两个定点 ， 满足 ，则点 到直线 ： 的距离
的最大值为.
14．设函数 的定义域为 ．若 ，则实数 的取值范围是
．
四、解答题（本大题共 5 题，共 77 分）
15．（13 分）（甲、乙两支女子排球队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一
支球队先胜 3局即获胜，比赛结束），假设在每局比赛中，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的
概率为 ，各局比赛的结果相互独立．
(1)求乙队获胜的概率；
(2)设比赛结束时甲队和乙队共进行了 局比赛，求随机变量 的分布列及数学期望．
16．（15 分）在递增的等比数列 中， ， ， 为等差数列 的前 项和，
，.
（1）求 、 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 .
17．（15 分）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形，
是正三角形， ， 是 AB 的中点．

(1)证明： ．
(2)求二面角 的余弦值．
18．（17 分）已知椭圆 的离心率为 ，点 在椭圆上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 ，过点 作直线 交椭圆于不同于的 两点，直线 的斜率分别为
，试问： 是否为定值？若是，求出定值，若不是，请说明理由.
1
9．（17 分）已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线的斜率
为3.
（1）求实数 的值；
（2）若 对任意 成立，求实数 的取值范围；
（3）当时，证明：.
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