江西省新余市第一中学2023-2024学年高二下学期开学考试数学试卷（解析版）

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2023-2024 学年下学期新余一中高二年级入学考试数学试卷
考试时间：120 分钟；命题人：季颖婷；审题人：唐静
第I卷（选择题）
一、单项选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分）
1. 已知向量 ， ，则向量 在向量 方向上的投影向量的模为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意求出 ， ，结合投影向量的计算公式即可求解.
【详解】 向量 ， ，
， ，
向量 在向量 方向上的投影向量的模为 .
故选：D.
2. 世界三大数学猜想：“费马猜想”“四色猜想”“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在
1976 年和 1994 年荣升为“四色定理”和“费马大定理”. 280 多年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好
的结果是“1＋2”陈氏定理，由我国数学家陈景润在 1966 年取得．哥德巴赫猜想描述为：任何不小于 4 的偶
数，都可以写成两个质数之和. 在不超过 20 的质数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的选法种数为
（ ）
A. 28 B. 25 C. 21 D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】利用组合数的定义求解即可.
【详解】不超过 20 的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19 一共 8个数，
随机选取两个不同的数，当选取的数没有 2时，其和为偶数.
故选法有 种.
故选：C
3. 已知 ， ，直线 和 垂直，则 的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得出 ，再由基本不等式“1”的代换求解即可.
【详解】因为直线 和 垂直，
所以 ，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等.
故选：C.
4. 甲、乙两位学生在学校组织的课后服务活动中，准备从①②③④⑤ 5个项目中分别各自随机选择其中一
项，记事件 ：甲和乙选择的活动各不同，事件 ：甲和乙恰好一人选择①，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用排列组合及计数原理，求出 和 ，再利用条件概率公式即可求出结果.
【详解】由题意知， ， ，
所以 ，
故选：B.
5. 已知直线 l与抛物线 交于 A，B两点，O为坐标原点，若直线 OA，OB 的斜率 ， 满足
，则直线 l恒过定点（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设直线 l的方程为 ，代入抛物线方程由韦达定理可表示出 ，结合 也表示
出 ，可解出 的值得直线所过定点．
【详解】设 ， ，则 ， ，
设直线 l的方程为 ，代入抛物线方程可化为 ， ，
， ，
所以直线 l一定过定点 .
故选：A．
6. 杨辉三角（如下图所示）是数学史上的一个伟大成就，杨辉三角中从第 2行到第 2023 行，每行的第 3个
数字之和为（ ）
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