江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高一下学期开学考试 数学（创新部） 含解析

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2023-2024（下）创新部高一开学考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知点 ， ，直线 过点 ，且 两点在直线 的同侧，则直线 斜率的取值范围
是（ ）
A．B．
C．D．
2．“ 或 ”是“方程 表示焦点在 x轴上的椭圆”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设两条直线的方程分别为 ， ，已知 a，b是方程 的两个实根，
且 ，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（）
A．1，B． ， C． ， D．1，
4．已知直线 ： 与圆 ： 的交点为 ， ，点 是圆 上一
动点，设点 ，则 的最大值为（）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等
于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知椭圆 （ ）的右焦点为 ，过 F
作直线 l交椭圆于 A、B两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（）
A．B．C．D．
6．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 M是椭圆上一点，点 A是线段
上一点，且 ， ，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．D．
7．双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反
向延长线经过左焦点 ．我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性
质．某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图
②，其方程为 ， ， 为其
左右焦点，若从右焦点 发出的光线经双曲线上的
点A和点 B反射后，满足 ，
，则该双曲线的离心率为（）
A． B． C．D．
8．在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 C:y2=2px( )的焦点为 F，直线 x=3 与抛物线 C交于 A，B
两点，｜AF|=4，圆 E为 的外接圆，直线 OM 与圆 E切于点 M，点 N在圆 E上，则 的
取值范围是（）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9．已知方程 表示曲线 ，则（）
A．当 时，曲线 一定是椭圆 B．当 或 时，曲线 一定是双曲线
C．若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，则
D．若曲线 是焦点在 轴上的双曲线，则
10．已知二次函数 交 轴于 两点（ 不重合），交 轴于点 ．圆 过
三点．下列说法正确的是（）
A．圆心 在直线 上 B． 的取值范围是
C．圆 半径的最小值为 D．存在定点 ，使得圆 恒过点
11．已知 为坐标原点， ， 是抛物线 上的一点， 为其焦点，若 与双
曲线 的右焦点重合，则下列说法正确的有（）
A．若 ，则点 的横坐标为 6
B．该抛物线的准线被双曲线所截得的线段长度为
C．若 外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆面积为
D． 周长的最小值为
12．已知直线 过抛物线 的焦点 F，且与抛物线 C交于 A，B两点，过 A，B
两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为 M，N，则下列说法正确的是（）
A．抛物线的方程为 B．线段 的中点到 y轴的距离为
C．线段 的长度为 D．
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．若双曲线的渐近线方程为 ，它的一个焦点是 ，则双曲线的方程是
  
．
14．已知斜率为 的直线 过抛物线 的焦点，且与抛物线 交于 A，B两点，若 ，则
_______．
15．已知椭圆 上一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为椭圆右焦点，且满足
，设 ，且 ，则椭圆离心率 的取值范围是.
16．已知抛物线方程 ， 为焦点， 为抛物线准线上一点， 为线段 与抛物线的交点，定
义： .已知点 ，则 ；设点 ，若
恒成立，则 的取值范围为.
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17． 是双曲线 C： 上任意一点.
(1)求证：点 P到双曲线 C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
(2) ，求 的最小值．
18．已知两点 A(－1，2)、B(m，3)．
(1)求直线 AB 的方程；
(2)已知实数 m∈，求直线 AB 的倾斜角 α的取值范围．
19．已知动点 到 的距离与点 到直线 ： 的距离相等.
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)若过点 且倾斜角为 60°的直线与动点 的轨迹交于 ， 两点，求线段 的长度.
20．已知椭圆 C： 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，M为椭圆上任意一
点，且 的周长等于
(1)求椭圆 C的方程；
(2)以M为圆心， 为半径作圆 M，当圆 M与直线 l： 有公共点时，求 面积的最大值．
21．某城市在主干道统一安装了一种新型节能路灯，该路灯由灯柱和支架组成．在如图所示的平面直
角坐标系中，支架 是抛物线 的一部分，灯柱 经过该
抛物线的焦点 且与路面垂直，其中 为抛物线的顶点， 表示
道路路面， ，A为锥形灯罩的顶，灯罩轴线与抛物线在 A
处的切线垂直．安装时，要求锥形灯罩的顶到灯柱所在直线的距离
是 ，灯罩的轴线正好通过道路路面中的中线．
(1)求灯罩轴线所在的直线方程；
(2)若路宽为 ，求灯柱的高．
22．如图，抛物线 的焦点为 F（1，0），E是抛物线的准
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