江西省宜春市宜丰中学2023-2024学年高二下学期开学考试 数学 含解析

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2023-2024（下）创新部高二开学考数学试卷
一、单选题（40 分）
1．已知 ， 设集合 ， ，则（ ）
A．B．
C． D．
2．已知 ， ，则 （）
A．B．C．D．
3．在棱长为 2的正方体 中，分别取棱 ， 的中点 E，F，点 G为EF 上一个动
点，则点 到平面 的距离为（）
A．B．C．1 D．
4．设函数 ，若 ， ， （e为自然对数的底数），
则（）
A．B．C．D．
5．已知对任意 ，且 ， 恒成立，则 的取值范围是（）
A．B．C．D．
6．已知数列 的前 项和为 ，且 ( ).记 ， 为数列 的前
项和，则使 成立的最小正整数为（）
A．5 B．6 C．7 D．8
7．已知函数 ，（e为自然对数的底数），则函数 的零
点个数为（）
A．8 B．7 C．6 D．4
8．已知函数 满足： ， ，则 （）
A． B． C．D．
二、多选题（20 分）
9．下列说法中正确的是（）
A．
B．事件 为必然事件，则事件 、 是互为对立事件
C．设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
D．甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为 0.6，乙射中的概率为 0.8，则
恰有 1人射中的概率为 0.12
10．已知抛物线 C： ，圆 F： （F为圆心），点 P在抛物线 C上，点 Q在圆 F
上，点 A，则下列结论中正确的是（）
A． 的最小值是 B． 的最小值是
C．当 最大时， D．当 最小时，
11．已知函数 的定义域为 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则（）
A．B．
C．D．
12．已知函数 ，则下列说法正确的是（）
A．当 时，曲线 在点 处的切线方程为
B．若对任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是
C．当 时， 既存在极大值又存在极小值
D．当 时， 恰有 3个零点 ，且
三、填空题（20 分）
13．若函数 在区间 D上是减函数，请写出一个符合条件的区间 ．
14．已知圆 经过 ， 两点，且圆心在直线 上，直线 经过点 ，且 与圆 相
交所得弦长为 ，则直线 的方程为.
15．设函数 ， ．若对任意的 ，存在 ，使得
成立，则实数 m的取值范围为．
16．已知 是函数 的导函数，且对任意的实数 的都有 ，且
，若 的图像与 有 个交点，则 的取值范围为．
四、解答题（70 分）
17．已知等比数列 的公比 ，前 n项和为 ，满足： .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
18．中国共产党第二十次全国代表大会于 2022 年10 月16 日在北京召开，为增进学生对党史知识的了
解，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有 A和B两类试题，每类试题各 10
题，其中每答对 1道A类试题得 20 分，每答对 1道B类试题得 10 分，答错都不得分，每位参加竞赛
的同学从这两类试题中共抽出 3道题回答（每道题抽后不放回）.已知甲同学答对各道 A类试题的概率
均为 ，B类试题中有 6道题会作答.
(1)若甲同学只作答 A类试题，记甲同学答这 3道试题的总得分为 X，求 X的分布列和期望；
(2)若甲同学在 A类试题中抽 1道题作答，在 B类试题中抽 2道题作答，求他在这次竞赛中仅答对 1道
题的概率.
19．如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ， ，
，E是PD 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)当点 为棱 中点时，求直线 与平面 所成角的正弦值．
20．已知函数 为偶函数， 为奇函数，且 .
(1)求函数 和 的解析式；
(2)若 在 恒成立，求实数 a的取值范围.
21．在平面直角坐标系 中，已知 的两个顶点坐标为 ，直线 的斜率
乘积为 .
(1)求顶点 的轨迹 的方程；
(2)过点 的直线与曲线 交于点 ，直线 相交于点 ，求证： 为定值.
22．已知函数 ，其中
(1)若 ，求 的极值；
(2)若 ，求实数 a的取值范围.
创新部高二开学考数学参考答案
1．D【详解】由题意， ,得
,故 ，A错误； ,故B错误，
，故 属于集合间符号使用不正确， C错误， ,D 正确，故选：D
2．C【详解】因为 ，所以 ．因为 ，所以
，故 ．故选：C
3．D【详解】如图所示，因为点 E，F分别是 ， 的中点，所以
，又因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，点 到平
面 的距离即为点 或 到平面 的距离.设 到平面 的距离为
，建立如图所示的空间直角坐标系， ， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，则有
，得 ，可求得平面 的法向量为 ，
，所以 .
4．D【详解】解：函数 定义域为 ，且 ，
即 为偶函数，又当 时 且 与 在 上单调递
增，所以 在 上单调递增，所以 ，又 ，
， ，即 ，所以 .故选：D
5．D【详解】由 得： ， ， ， ，
（当且仅当 时取等号）， 当 恒成立时， .
6．C【详解】解析：由 ，可知 ，∴
，即 .时， ，∴，∴，
∴，∴数列 是以 1为首项，以 为公比的等比数列.∴
.又 ，∴数列 是以 为首项，以 为公比的等比
数列.∴.又 ，∴，即 ，∴
.又 ，∴的最小值为 7.故选：C.
7．C【详解】解：设 ，由 ，得 ，作出
， 的图象，如图所示：设直线 与 相切，
切点为 ，
则 ，解得 ， ，设直线 与 相切，切点
为 ，则 ，解得 ， ，故直线 与 的图象有4个交点，不妨
设 ，且 ，由图象可知： ，由 的函数图象可知
无解， 有一个解， 有三个解， 有两个解，所以 有 6个零
点，故选：C
8．A【详解】 ，令得： ，因
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