江西省南昌市外国语学校2023-2024学年度高一下学期5月份月考数学试卷

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南昌市外国语学校 2023-2024 学年度下学期 5月份月考试卷
高一数学
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．已知复数
z
满足
(
1−i
)
z=3+i
，则
z
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设
⃗
a ,
⃗
b
为平面向量，则“存在实数
A
，使得
⃗
a=2
⃗
b
”是“
|
a+b
)
=
|
a
)
+❑
√
3∨¿
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，
的值为（ ）
A．
❑
√
5
10
B．
❑
√
5
5
C．
4
5
D．
2❑
√
5
5
4．在平面直角坐标系
xOy
中，如图所示，将一个半径为 1的圆盘固定在平面上，圆盘的圆心与原点重
合，圆盘上缠绕着一条没有弹性的细线，细线的端头
M
（开始时与圆盘上点
A
(
1,0
)
重合）系着一支铅
笔，让细线始终保持与圆相切的状态展开，切点为
B
，细绳的粗细忽略不计，当
φ=2rad
时，点
M
与点
O
之间的距离为（ ）
A．
1
cos 1
B．
2
sin 1
C．2 D．
❑
√
5
5．已知等腰梯形
ABCD
中，
AB/¿DC , AB=2DC=2AD=2
,
BC
的中点为
E
，则
⃗
AE=¿
（ ）
A．
1
3
⃗
DB +5
3
⃗
AC
B．
1
3
⃗
DB+5
6
⃗
AC
C．
1
3
⃗
DB +1
2
⃗
AC
D．
2
3
⃗
DB+5
6
⃗
AC
6．计算：
sin 40∘⋅sin 80∘
cos 40∘+cos 60∘=¿
（ ）
A．
1
2
B．
❑
√
3
2
C．
❑
√
2
2
D．
❑
√
3
3
7．已知
cos
(
α+π
6
)
=4
5,cos
(
β − π
6
)
=12
13 , α , β ∈
(
0,π
6
)
，则
cos
(
α+β
)
=¿
（ ）
A．
16
65
B．
33
65
C．
56
65
D．
63
65
8．如图，在四边形
ABCD
中，
AB⊥AD , CD ⊥CB , ∠ABC=60❑∘, AB=2, AD=❑
√
3
，
E
为线段
CD
的中点，
F
为线段
AB
上一动点（包括端点），且
⃗
EF=λ
⃗
DA +μ
⃗
AB
，则下列说法错误的是（ ）
A．
BC=5
2
B．若
F
为线段
AB
的中点，则
λ+μ=1
C．
⃗
FC ⋅
⃗
FD
的最小值为
15
4
D．
μ
的最大值比最小值为
8
5
二、多项选择题：本小题共 3小题，每小题 6分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
9．已知向量
⃗
a=
(
−2,2
)
,
⃗
b=
(
1,1
)
，且
⃗
a+
⃗
b
与
⃗
a −
⃗
b
的夹角为
θ
，则（ ）
A．
⃗
a −
⃗
b=
(
−3,1
)
B．
⃗
a⊥
⃗
b
C．
sin θ=−4
5
D．
⃗
a −
⃗
b
在
⃗
a
上的投影向量是
(
−2,2
)
10．下列关于非零复数
z1, z2
的结论正确的是（ ）
A．若
z1, z2
互为共轭复数，则
z1⋅z2∈R
B．若
z1⋅z2∈R
，则
z1, z2
互为共轭复数
C．若
z1, z2
互为共轭复数，则
|
z1
z2
)
=1
D．若
|
z1
z2
)
=1
，则
z1
,
z2
互为共轭复数
11．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为
世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设
x∈R
，用
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则
y=[ x]
称为高斯函数，例如
[−2,1]=−3
，
[2,1]=2
. 已知函数
f
(
x
)
=sin
|
x
)
+
|
sin x
)
，函数
g
(
x
)
=[f
(
x
)
]
，则下列 4个命题中，其中正确结论的选项是（ ）
A．函数
g
(
x
)
不是周期函数； B．函数
g
(
x
)
的值域是
{0,1,2}
C．函数
¿
的图象关于
x=π
2
对称： D．方程
π
2⋅g
(
x
)
=x
只有一个实数根；
三、填空题；本题共 3小题，每小题 5分，共 15 分.
12．已知向量
⃗
a
，
⃗
b
满足
|
⃗
a−
⃗
b
)
=❑
√
3
，
|
⃗
a+
⃗
b
)
=
|
2
⃗
a −
⃗
b
)
，则
|
⃗
b
)
=¿
à
13．已知
⃗
i
与
⃗
j
为互相垂直的单位向量，
⃗
a=2
⃗
i+3
⃗
j,
⃗
b=−
⃗
i+2λ
⃗
j
，且
⃗
a
与
⃗
b
的夹角为钝角，则实数
λ
的取
值范围是 à .
14．函数
f
(
x
)
=sin xcos x
1+sin x+cos x
的值域为 à .
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在锐角
△ABC
中，角
A
,
B
,
C
所对的边分别为
a
,
b
,
c
，已知
a=❑
√
7,b=3,❑
√
7 sin B+sin A=2❑
√
3
.
（1）求角
A
的大小；
（2）求
△ABC
的面积.
16．某同学用五点法作函数
f
(
x
)
=Asin
(
0x+φ
) (
A>0,0
)
>0,
|
φ
)
<π
2¿
在某一个周期内的图象时，列表并填
入了部分数据，如下表：
ωx+φ
0
π
2
π
3π
2
2π
x
π
3
7π
12
f
(
x
)
0 2 0
−2
0
（1）请将上表数据补充完整，并根据表格数据作出函数
f
(
x
)
的图象；
（2）将
f
(
x
)
的图象向右平移
θ
(
θ>0
)
个单位，得到
g
(
x
)
的图象，若
g
(
x
)
的图象关于
y
轴对称，求
θ
的最
小值.
17．在
△ABC
中，点
D , E
分别在边
BC
和边
AB
上，且
DC=2BD
,
BE=2AE
,
AD
交
CE
于点
P
，设
⃗
BC=
⃗
a ,
⃗
BA=
⃗
b
.
（1）试用
⃗
a ,
⃗
b
表示
⃗
BP
;
（2）点
F
在边
AC
上，且满足
B , P , F
三点共线，试确定点
F
的位置.
18．已知向量
⃗
u=
(
sin x , sin2
(
x+π
4
)
)
,
⃗
v=
(
❑
√
3 sin x , 1
)
，若函数
f
(
x
)
=2
⃗
u⋅
⃗
v −❑
√
3
.
（1）求函数
f
(
x
)
的最小正周期；
（2）若
x∈[−π
4,π
4]
，求
y=f
(
x
)
的最值及取得最值时的
x
值；
（3）若函数
y=f
(
x
)
− m
在
x∈[0,π
2]
内有且只有一个零点，求实数
m
的取值范围.
19．在路边安装路灯，灯柱
AB
与地面垂直（满足
∠BAD=90∘
），灯杆
BC
与灯柱
AB
所在平面与道路
垂直，且
∠ABC =120❑∘
，路灯
C
采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知
∠ACD=60❑∘
，路宽
AD=12 m
. 设灯柱高
AB=ℎ
(
m
)
,∠ACB=θ
(
30∘≤θ≤45∘
)
.
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