江西省南昌市2024届高三第一次模拟测试数学试题

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2024 年HGT 第一次模拟测试
数学
本试卷共 4页，22 小题，满分 150 分.考试时间 120 分钟
一 单项选择题：共､8小题，每题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A.3 B. C.4 D.10
3.已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A.51 B.34 C.17 D.1
4.已知 ，则 是 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.已知抛物线 的焦点为 是抛物线 在第一象限部分上一点，若 ，则抛物线 在点
处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
6.已知 ，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知函数 ，则下列结论中错误的是（ ）
A. 是奇函数 B.
C. 在 上递增 D. 在 上递增
8.木桶效应，也可称为短板效应，是说一只水桶能装多少水取决于它最短的那块木板.如果一只桶的木板中有
一块不齐或者某块木板有破洞，这只桶就无法盛满水，此时我们可以倾斜木桶，设法让桶装水更多.如图，棱
长为 2的正方体容器，在顶点 和棱 的中点 处各有一个小洞（小洞面积忽略不计），为了保持平衡，
以 为轴转动正方体，则用此容器装水，最多能装水的体积 （ ）
A.4 B. C.6 D.
二 多项选择题：共､4小题，每题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.已知空间中两条不同的直线 和两个不同的平面 ，则下列说法正确的是（ ）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，则
D.若 ，则
10.已知圆 与直线 交于 两点，设 的面积为 ，则下列说法正确
的是（ ）
A. 有最大值 2
B. 无最小值
C.若 ，则
D.若 ，则
11.某环保局对辖区内甲 乙两个地区的环境治理情况进行检查督导，若连续､10 天，每天空气质量指数（单位：
）不超过 100，则认为该地区环境治理达标，否则认为该地区环境治理不达标.已知甲乙两地区连续 10
天检查所得数据特征是：甲地区平均数为 80，方差为 40，乙地区平均数为 70，方差为 90.则下列推断一定正
确的是（ ）
A.甲乙两地区这 10 天检查所得共 20 个数据的平均数是 75
B.甲乙两地区这 10 天检查所得共 20 个数据的方差是 65
C.甲地区环境治理达标
D.乙地区环境治理达标
12.已知直线 是曲线 上任一点 处的切线，直线 是曲线 上点 处的
切线，则下列结论中正确的是（ ）
A.当 时，
B.存在 ，使得
C.若 与 交于点 时，且三角形 为等边三角形，则
D.若 与曲线 相切，切点为 ，则
三 填空题：共､4小题，每小题 5分，共 20 分.
13.已知向量 满足 ，且 ，则向量 夹角的余弦值为__________.
14. 的展开式中 的系数是__________.
15.“南昌之星”摩天轮半径为 80 米，建成时为世界第一高摩天轮，成为南昌地标建筑之一.已知摩天轮转一圈
的时间为 30 分钟，甲乙两人相差 10 分钟坐上摩天轮，那么在摩天轮上，他们离地面高度差的绝对值的取值
范围是__________.
16.用平面截圆锥面，可以截出椭圆双曲线 抛物线，那它们是不是符合圆锥曲线的定义呢？比利时数学家旦､ ､
德林用一个双球模型给出了证明.如图 1，在一个圆锥中放入两个球，使得它们都与圆锥面相切，一个平面过
圆锥母线上的点 且与两个球都相切，切点分别记为.这个平面截圆锥面得到交线 是 上任意一
点，过点 的母线与两个球分别相切于点 ，因此有 ，而是图中两
个圆锥母线长的差，是一个定值，因此曲线 是一个椭圆.如图 2，两个对顶圆锥中，各有一个球，这两个球
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