《人教版九年级数学上册教学案》21.3 实际问题与一元二次方程讲义 学生版

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21.3 实际问题与一元二次方程
【学习目标】
1.会分析实际问题中蕴含的数量关系，列出一元二次方程解决实际问题。
2.经历分析和解决实际问题的过程，体会一元二次方程的数学建模作用，进一步提高在实际问题中运用方
程这种重要数学工具的基本能力。
【学习重难点】
重点：列一元二次方程解决实际问题。
难点：找出题目中的等量关系。
知识点一 列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
与列一元一次方解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤为：
1．审：审清题意，明确那些死未知量，哪些是已知量，以及它们之间的关系；
2．设：根据题意，设恰当的未知数。设未知数有“直接设元”和“间接设元”两种方法；
3．列：将相等关系中的各个量用含未知数的代数式表达出来，再根据相关关系列出方程；
4．解：解方程，得出未知数的值；
5．验：检验得出的方程的解是否符合题意，舍去不符合一题的解；
6．答：写出正确的解．
【例题】某果园有 100 棵桃树,一棵桃树平均结 1000 个桃子,现准备多种一些桃树以提高产量.试验发现,每
多种一棵桃树,每棵棵桃树的产量就会减少 2 个.如果要使产量增加 15.2%,那么应种多少棵桃树?
1
【变式】某商场销售一批名牌衬衫,现在平均每天能售出 20 件,每件盈利 40 元.为了尽快减少库存,商场决
定采取降价措施.经调查发现:如果这种衬衫的售价每降低 1 元时,平均每天能多售出 2 件.商场要想平均每
天盈利 1200 元,每件衬衫应降价多少元?
知识点二 列一元二次方程解决平均增长率
（1）增长率问题的有关公式：增长数=基数×增长率
(2) 连 续 两 次 增 长 ， 且 增 长 率 相 等 的 问 题 ： 若 原 来 为 m ， 现 在 为 n ， 增 长 率 为 x ， 满 足 公 式
如果是连续两次下降则为：
【例题 1】雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收
到捐款 10000 元，第三天收到捐款 12100 元.
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长 率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长率速度，第四天该单位能收到多少捐款
【变式 1】 某 2006 已有 300 公，经过两，增加，到 200 增
加到 363 公．设平均每的增长率为
x
，题意，列方程正确的是（）
．300(1
x
)=363 ．300(1
x
)2=363 ．300(12
x
)=363 ．363(1
x
)2=300
【变式 2】某种基地 2016 产量为 0，201 产量达到 100 ，求产量的平均
增长率，设产量的平均增长率为 x，则列方程为（）
2
．0（1x）2=100 ．100（1x）2=0．0（12x）=100 ．0（1x2）=100
【变式 3】某去 !收"#$中%学&50 名，'(在明 !&结)*，使"#$+中%三
!&,人数达到 450 名．若该"#$中%!&人数平均每-.的增长率相同，求这个增长率．
知识点三 列一元二次方程解决与/012有关的应用题
与/012有关的一元二次方程的应用题3要是将数量及数量之间的关系45在12中，用12表6
出来，这样的123要有：三72、四82、正（长）方2，以*9会有:。;及三72的三8关系、三
72全等、的<、体的<、=>定?。
【例题 1】如1，某中学准备在@园A利用BC的一D，再E三C，BF一个G2H园（BC IJ K
长利用 25m），现在已备足以E50m 长的C的LM，试设一种E法，使G2H园的为 300m2．
【变式 1】如1，有一NG2OP，长 10Qm，R6Qm，在它的四7各S去一个同样的T正方2，U*VW
F一个XY的长方体OZ．若OZ的（1中[\]分）是 32Qm2，求S去的T正方2的8长．设
S去的T正方28长是 xQm，根据题意列方程为（）
3
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