《中考二轮复习数学二次函数压轴题分类训练》5：与直角三角形相关的综合题（附答案）

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2021 年中考数学复习二次函数压轴题分类训练 5：与直角三角形相关的综合题（附答案）

1．已知抛物线 l1：y＝ax2+bx+c的顶点为 M（1，﹣4）．它与 x轴交于点 A、点 B两点，其

中点 B的坐标为（3，0）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）将抛物线 l绕x轴上的一个动点旋转 180°得新抛物线 l′，点 B和点 M的对应点分

别为点 C和点 N，当△BMN 为直角三角形时，求新抛物线 l′的表达式．

2．如图，抛物线 y＝x2+bx+c过点 A（3，0），B（1，0），交 y轴于点 C，点 P是该抛物

线上一动点，点 P从C点沿抛物线向 A点运动（点 P不与 A重合），过点 P作PD∥y

轴交直线 AC 于点 D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求点 P在运动的过程中线段 PD 长度的最大值；

（3）△APD 能否构成直角三角形？若能，请直接写出所有符合条件的点 P坐标；若不

能，请说明理由．

3．如图，直线 y＝﹣x+n与x轴交于点 A（3，0），与 y轴交于点 B，抛物线 y＝﹣x2+bx+c

经过点 A，B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）E（m，0）为 x轴上一动点，过点 E作ED⊥x轴，交直线 AB 于点 D，交抛物线于

点P，连接 BP．

①点E在线段 OA 上运动，若△BPD 直角三角形，求点 E的坐标；

②点E在x轴的正半轴上运动，若∠PBD+∠CBO＝45°．请直接写出 m的值．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+c（a＞0）与 x轴交于 A、B两点（点 A

在点 B左侧），与 y轴交于点 C．

（1）若 A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

①求抛物线的解析式；

②若点 P为x轴上一点，点 Q为抛物线上一点，△CPQ 是以 CQ 为斜边的等腰直角三

角形，求出点 P的坐标；

（2）若直线 y＝bx+t（t＞c）与抛物线交于点 M、点 N（点 M在对称轴左侧）．直线

AM 交y轴于点 E，直线 AN 交y轴于点 D．试说明点 C是线段 DE 的中点．

5．已知直线 l：y1＝x﹣1，抛物线 c：y2＝（x﹣h）2+k．

（1）若 h＝0，k＝﹣1，求直线 l与抛物线 c的交点坐标；

（2）若 k＝﹣1时，求当 x（可用含 h的代数式表示）为何值时，y2＞y1；

（3）若 k＝h2+1，设直线 l与x，y轴分别交于点 A，B，抛物线 c的顶点为 P，当点

A，B，P三点构成的三角形是直角三角形时，请直接写出点 P的坐标．

6．如图，抛物线 y＝﹣x2+bx+c经过 A（4，0），C（﹣1，0）两点，与 y轴交于点 B，P

为第一象限抛物线上的动点，连接 AB，BC，PA，PC，PC 与AB 相交于点 Q．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设△APQ 的面积为 S1，△BCQ 的面积为 S2，当 S1﹣S2＝5时，求点 P的坐标；

（3）是否存在点 P，使△PAQ 为直角三角形，若存在，直接写出点 P的坐标；若不存

在，说明理由．

7．如图，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于点 C（0，3），

且OB＝OC．直线 y＝x+1 与抛物线交于 A、D两点，与 y轴交于点 E，点 Q是抛物线的

顶点，设直线 AD 上方的抛物线上的动点 P的横坐标为 m．

（1）求该抛物线的解析式及顶点 Q的坐标．

（2）连接 CQ，直接写出线段 CQ 与线段 AE 的数量关系和位置关系．

（3）连接 PA、PD，当 m为何值时 S△APD＝S△DAB？

（4）在直线 AD 上是否存在一点 H，使△PQH 为等腰直角三角形？若存在，请直接写

出点 P的坐标；若不存在，请说明理由．

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