《中考数学第二轮重难题型突破》类型三 二次函数与图形面积问题（解析版）

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类型三 二次函数与图形面积问题
例1、如图，已知抛物线
2
1y x 
与
x
轴交于 A
、
B两点，与
y
轴交于点 C．
（1）求 A
、
B
、
C三点的坐标;
（2）过点 A作AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积;
（3）在
x
轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M作MG
x
轴于点 G，使以
A
、
M
、
G三点为顶点的三角形与
PCA 相似．若存在，请求出 M点的坐标；否则，请
说明理由．
【解析】解：（1）令
0y
，得
21 0x 
解得
1x 
令
0x
，得
∴A
B
(1,0)
C
（2）∵OA=OB=OC=
1
∴
BAC=
ACO=
BCO=
45
∵AP∥CB， ∴
PAB=
45
过点 P作PE
x
轴于 E，则
APE为等腰直角三角形
令OE=
a
，则 PE=
1a
P∴
( , 1)a a
∵点P在抛物线
2
1y x 
上 ∴
2
1 1a a 
解得
12a
，
21a 
（不合题意，舍去）
P∴E=
3
∴四边形 ACBP的面积
S
=
1
2
AB•OC+
1
2
AB•PE=
1 1
2 1 2 3 4
2 2
 
(3)． 假设存在
∵
PAB=
BAC =
45
P∴A
AC
∵MG
x
轴于点 G， ∴
MGA=
PAC =
90
1
G
M
C
B
y
P
A
o
x
在Rt△AOC中，OA=OC=
1
∴AC=
2
在Rt P△AE 中，AE=PE=
3
∴AP=
3 2
设M点的横坐标为
m
，则 M
2
( , 1)m m
①点M在
y
轴左侧时，则
1m 
(ⅰ) 当
AMG
∽
PCA 时，有
AG
PA
=
MG
CA
∵AG=
，MG=
2
1m
即
2
1 1
3 2 2
m m 
解得
11m 
（舍去）
2
2
3
m
（舍
去）
(ⅱ) 当
MAG
∽
PCA 时有
AG
CA
=
MG
PA
即
2
1 1
2 3 2
m m 
解得：
1m 
（舍去）
22m 
∴M
② 点 M在
y
轴右侧时，则
1m
(ⅰ) 当
AMG
∽
PCA 时有
AG
PA
=
MG
CA
∵AG=
1m
，MG=
2
1m
∴
2
1 1
3 2 2
m m 
解得
11m 
（舍去）
2
4
3
m
∴M
4 7
(,)
3 9
2
G
M
C
B
y
P
A
o
x
(ⅱ) 当
MAG
∽
PCA 时有
AG
CA
=
MG
PA
即
2
1 1
2 3 2
m m 
解得：
11m 
（舍去）
24m
M∴
(4,15)
∴存在点 M，使以 A、M、G三点为顶点的三角形与
PCA 相似
M点的坐标为
，
4 7
(,)
3 9
，
(4,15)
例2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,
∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线 经过 A，B两点，抛物线的
顶点为 D．
（1）求 b,c的值；
（2）点 E是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点A、B除外)，过点 E作x轴的
垂线交抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点
Ｅ
、
Ｂ
、
Ｆ
、
Ｄ
为顶点的四边形
的面积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直
角三角形? 若存在，求出所有点 P的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5）
∵二次函数 的图像经过点 A（-1，0）B(4,5)
∴
解得：b=-2 c=-3
3
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