《中考数学第二轮重难题型突破》类型一 数式规律（解析版）

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类型一 数式规律
1、数列型数字问题
例1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规
律确定第 8个数为_________．
【答案】：50
【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下；
第一个数是 1，第二个数数 1+1，第三个数是 1+1+3，第四个数是 1+1+3+5，第五个数是
1+1+3+5+7，第六个数是 1+1+3+5+7+9，
为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数 1也写成两个数的和的形式，为 1+0，
这样，就发现数字 1是固定不变的，规律就蕴藏在新数列 0，1，4，9，16 中，而
0，1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与 1的
差，即 1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2，
26=1+（5-1）2，这样，第 n个数为 1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求
得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当 n=8 时，代数式 1+（n-1）2的值，此时，
代数式 1+（n-1）2的值为 1+（8-1）2=50。所以，本空填 50。
例2、古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第
100 个三角形数与第 98 个三角形数的差为_________.
【答案】：199
【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试
一试。
当序号为 1时，对应的值是 1，有序号和对应的数值构成的点设为 A，
则A（1，1）；
当序号为 2时，对应的值是 3，有序号和对应的数值构成的点设为 B，
则B（2，3）；
当序号为 3时，对应的值是 6，有序号和对应的数值构成的点设为 C，
则C（3，6）；
因为， ， ，所以有： 成立，所以，对应的数值 y是序号
n的二次函数，因此，我们不妨设 y=an2+bn+c，
把A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入 y=an2+bn+c 中，
1
得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a= ，b= ，c=0，
所以，y= n2+ n，因此，当 n=100 时，y= ×1002+ ×100，
当n=98 时，y= ×982+ ×98，因此（ ×1002+ ×100）-（×982+ ×98）=199，
所以该空应该填 199。
2、图示型数字问题
例3、为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比
赛．如图所示：
按照上面的规律，摆 个“金
鱼”需用火柴棒的根数为（ ）
　A． B． C． ´ D．
【答案】：A
【解析】：第一个图需要火柴的根数是 8，有序号和对应的数值构成的点设为 A，则
A（1，8）；
第二个图需要火柴的根数是 14，有序号和对应的数值构成的点设为 B，则 B（2，14）；
第三个图需要火柴的根数是 20，有序号和对应的数值构成的点设为 C，则 C（3，20）；
因为， ， ，所以有： 成立，所以，每个图形中
所需要的火柴的总根数 y是这个图形的序号 n的一次函数，因此，我们不妨设 y=kn+b，
把A（1，8），B（2，14）分别代入 y=kn+b 中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2，
所以，y=6n+2。因此选 A。
例4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第 5
个图案中小正方形的个数为_______________。
【答案】：50
【解析】：
2
仔细观察第一个图，正方形的个数为 1，第二个图形中正方形的特点是中间是 3个，左右
两边各一个，即为 1+3+1 个，第三个图形中正方形的特点是中间是 5个，左右分别是 1+3
个，即为 1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第
n个图形中正方形的个数为 1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n2-2n+1，这样，第 5个图形
中正方形的个数，也就是当 n=5 时，代数式 2n2-2n+1 的值，所以，代数式的值为：2n2-
2n+1=2×52-2×5+1=41 个。所以，本空填 50。
例5、按如下规律摆放三角形：
则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________.
【答案】：14,3n+2
【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间 3=(1+2)个,左右各 1个,即图 1
中三角形的总数为 1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是 4=(2+2)个，左右两边
各2个，即为 2+(2+2)+2 个，第三个图形中三角形的特点是中间是 5=(3+2)个，左右分别是
3个，即为 3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第
n个图形中三角形的个数为 n+（n+2）+n =3n+2，这样，第 4个图形中三角形正方形的个数，
也就是当 n=4 时，代数式 3n+2 的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14 个。所以，本
题的两个空分别填 14 和3n+2。
例6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图：
第一层有 2×3 听罐头，第二层有 3×4 听罐头，第三层有 4×5 听罐头，……
根据这堆罐头排列的规律，第 n（n为正整数）层有´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ ´ 听罐头（用含 n的式
3
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