《中考数学二轮复习重难题型突破》类型三 与折叠有关的探究题（解析版）

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类型三 与折叠有关的探究题
【典例 1】已知在△
ABC
中，
AC
＝
BC
＝
m
，
D
是
AB
边上的一点，将∠
B
沿着过点
D
的直线折
叠，使点
B
落在
AC
边的点
P
处（不与点
A
，
C
重合），折痕交
BC
边于点
E
．
（1）特例感知 如图 1，若∠
C
＝60°，
D
是
AB
的中点，求证：
AP
＝
AC
；
（2）变式求异 如图 2，若∠
C
＝90°，
m
＝6 ，
AD
＝7，过点
D
作
DH
⊥
AC
于点
H
，求
DH
和
AP
的长；
（3）化归探究 如图 3，若
m
＝10，
AB
＝12，且当
AD
＝
a
时，存在两次不同的折叠，使点
B
落在
AC
边上两个不同的位置，请直接写出
a
的取值范围．
【答案】（1）证明见解析；（2） ，4 或 3 ；（3）6≤
a
＜ .
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质，运用等边三角形内角都为 60°以及三边相等进行求解．
（2）根据相似三角形的性质，运用对应边成比例以及勾股定理进行求解．
（3）根据三角函数以及三线合一性质，运用勾股定理以及比例关系进行求解．
【详解】
（1）证明：∵
AC
＝
BC
，∠
C
＝60°，
∴△
ABC
是等边三角形，
∴
AC
＝
AB
，∠
A
＝60°，
由题意，得
DB
＝
DP
，
DA
＝
DB
，
∴
DA
＝
DP
，
∴△
ADP
使得等边三角形，
1
∴
AP
＝
AD
＝
AB
＝
AC
．
（2）解：∵
AC
＝
BC
＝6 ，∠
C
＝90°，
∴
AB
＝ ＝ ＝12，
∵
DH
⊥
AC
，
∴
DH
∥
BC
，
∴△
ADH
∽△
ABC
，
∴ ＝ ，
∵
AD
＝7，
∴ ＝ ，
∴
DH
＝ ，
将∠
B
沿过点
D
的直线折叠，
情形一：当点
B
落在线段
CH
上的点
P
1处时，如图 2﹣1 中，
∵
AB
＝12，
∴
DP
1＝
DB
＝
AB
﹣
AD
＝5，
∴
HP
1＝ ＝ ＝ ，
∴
A
1＝
AH
+
HP
1＝4 ，
情形二：当点
B
落在线段
AH
上的点
P
2处时，如图 2﹣2 中，
2
同法可证
HP
2＝ ，
∴
AP
2＝
AH
﹣
HP
2＝3 ，
综上所述，满足条件的
AP
的值为 4 或 3 ．
（3）如图 3 中，过点
C
作
CH
⊥
AB
于
H
，过点
D
作
DP
⊥
AC
于
P
．
∵
CA
＝
CB
，
CH
⊥
AB
，
∴
AH
＝
HB
＝6，
∴
CH
＝ ＝ ＝8，
当
DB
＝
DP
时，设
BD
＝
PD
＝
x
，则
AD
＝12﹣
x
，
∵tan
A
＝＝，
∴ ＝ ，
∴
x
＝ ，
3
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