《中考数学复习讲义》第四章 全等三角形 模型（十三）——倍长中线模型

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第四章.全等三角形
模型（十三）——倍长中线模型
【结论 1】如图，AD 为△ABC 的中线，则 AD＜ （AB+AC）
【证明】
间接倍长
典例 1 ☆☆☆☆☆
如图，△ABC 中，若 AB=8，AC=6，则 BC 边上的中线 AD 长度的取值范围为（
）.
A.6＜AD＜8 B.6≤AD≤8 C.1＜AD＜7 D.1≤AD≤7
【答案】C
【解析】如图，延长 AD 至点 E，使 ED=AD，连接 BE，
∵AD 是 BC 边上的中线，∴由倍长中线模型可知 BE= AC.
∵AB-BE＜AE＜AB+BE, ∴AB-AC＜AE＜AB+AC.
∵AB=8,AC=6, ∴8-6＜AE＜8＋6,
∴2＜AE＜14.
∵AD=ED,∴AE=AD+ED=AD+AD=2AD,
即 2＜2AD＜14，
∴1＜AD＜7. 故选 C
典例秒杀
典例 2 ☆☆☆☆☆
如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别在边 AB，AC 上（E，F 不与端点重合），且
DE⊥DF，则（ )
A .BE+CF＞EF B.BE＋CF=EF
C. BE＋CF＜EF D.BE＋CF 与 EF 的长短关系不确定
【答案】A
【解析】如图，延长 ED 至点 G，使 DG=ED，连接 CG，FG.
∵AD 是 BC 边上的中线，由倍长中线的拓展模型可得 CG= BE.
又∵DE⊥DF，DG=ED， ∴FD 是 EG 的垂直平分线， ∴FG=EF.
∵GC+CF＞FG,∴BE+CF>EF. 故选 A.
典例 3 ☆☆☆☆☆
如图所示，E 是 BC 的中点，∠BAE= ∠CDE.若 AB=6，则 CD= ( ).
A .6 B.3 C.12 D. 无法确定
【答案】A
【解析】如图，延长 DE 至点 G，使得 DE=EG，连接 BG.由模型知
△GBE≌△DCE，所以∠BAE=∠CDE=∠BGE，所以 BG=AB=DC=6. 故选 A.
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