《中考数学特训营》常考压轴06 动点问题（解析版）

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【十大常考压轴题特训】

特训

06—— 动点问题

题量﹕10 题；分值﹕每小题 10 分，共计 100 分；推荐时间﹕45 分钟

问题 1．（2019 湖南省衡阳市）

如图，在等边△ABC 中，AB＝6cm，动点 P从点 A出发以 lcm/s的速度沿 AB 匀速运动．动点 Q同时从点

C出发以同样的速度沿 BC 的延长线方向匀速运动，当点 P到达点 B时，点 P、Q同时停止运动．设运动时间

为以 t（s）．过点 P作PE⊥AC 于E，连接 PQ 交AC 边于 D．以 CQ、CE 为边作平行四边形 CQFE．

（1）当 t为何值时，△BPQ 为直角三角形；

（2）是否存在某一时刻 t，使点 F在∠ABC 的平分线上？若存在，求出 t的值，若不存在，请说明理由；

（3）求 DE 的长；

（4）取线段 BC 的中点 M，连接 PM，将△BPM 沿直线 PM 翻折，得△B′PM，连接 AB′，当 t为何值时，AB'的

值最小？并求出最小值．

【分析】（1）当 BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．

（2）如图 1中，连接 BF 交AC 于M．证明 EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．

（3）证明 DE＝AC 即可解决问题．

（4）如图 3中，连接 AM，AB′．根据 AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．

【解答】（1）∵△ABC 是等边三角形，

∴∠B＝60°，

∴当BQ＝2BP 时，∠BPQ＝90°，

∴6＋t＝2（6﹣t），

∴t＝3，

∴t＝3时，△BPQ 是直角三角形．

（2）存在．

理由：如图 1中，连接 BF 交AC 于M．

∵BF 平分∠ABC，BA＝BC，

∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，

∵EF∥BQ，

∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，

∴EF＝2EM，

∴t＝2•（3﹣t），

解得 t＝3．

（3）如图 2中，作 PK∥BC 交AC 于K．

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠B＝∠A＝60°，

∵PK∥BC，

∴∠APK＝∠B＝60°，

∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，

∴△APK 是等边三角形，

∴PA＝PK，

∵PE⊥AK，

∴AE＝EK，

∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，

∴△PKD≌△QCD（AAS），

∴DK＝DC，

∴DE＝EK＋DK＝（AK＋CK）＝AC＝3（cm）．

（4）如图 3中，连接 AM，AB′

∵BM＝CM＝3，AB＝AC，

∴AM⊥BC，

∴AM＝＝3，

∵AB′≥AM﹣MB′，

∴AB′≥3 3﹣ ，

∴AB′的最小值为 3 3﹣ ．

【点评】

本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定

和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数

构建方程解决问题，属于中考压轴题．

问题 2．（2019•吉林省长春市）

如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点 P从点 A出发，沿 AC 向终点 C运动，同时点 Q

从点 C出发，沿射线 CB 运动，它们的速度均为每秒 5个单位长度，点 P到达终点时，P、Q同时停止运动．当

点P不与点 A、C重合时，过点 P作PN⊥AB 于点 N，连结 PQ，以 PN、PQ 为邻边作□PQMN．设□PQMN 与

△ABC 重叠部分图形的面积为 S，点 P的运动时间为 t秒．

（1）① AB 的长为　　；

②PN 的长用含 t的代数式表示为　　．

（2）当□PQMN 为矩形时，求 t的值；

（3）当□PQMN 与△ABC 重叠部分图形为四边形时，求 S与t之间的函数关系式；

（4）当过点 P且平行于 BC 的直线经过□PQMN 一边中点时，直接写出 t的值．

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