17.3 《勾股定理》章末复习（能力提升）-八年级数学下册要点突破与同步训练（人教版）

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第十七章 勾股定理
17.3 《勾股定理》章末复习（能力提升）
【要点梳理】
要点一、勾股定理
1.勾股定理：
直角三角形两直角边
a b、
的平方和等于斜边
c
的平方.（即：
2 2 2
a b c 
）
2.勾股定理的应用
勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要
应用是：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；
（3）求作长度为 的线段.
要点二、勾股定理的逆定理
1.原命题与逆命题
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互
逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.
2.勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长
a b c、 、
，满足
2 2 2
a b c 
，那么这个三角形是直角三角形.
应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：
（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为
c
；
（2）验证
2
c
与
2 2
a b
是否具有相等关系，若
2 2 2
a b c 
，则△ABC 是以∠C 为直角
的直角三角形，反之，则不是直角三角形.
3.勾股数
满足不定方程
2 2 2
x y z 
的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯
数），显然，以
为三边长的三角形一定是直角三角形.
常 见的勾股数： ① 3 、 4、 5 ； ② 5、 12 、 13 ；③ 8 、 15、 17； ④ 7 、24 、25 ；
1
⑤ 9、40、41.
如果(
a b c、 、
)是勾股数，当 t 为正整数时，以
at bt ct、 、
为三角形的三边长，此三
角形必为直角三角形.
观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：
1.较小的直角边为连续奇数；
2.较长的直角边与对应斜边相差 1.
3.假设三个数分别为
a b c、 、
，且
a b c 
，那么存在
2
a b c 
成立.（例如④中存
在
2
7
＝24＋25、
2
9
＝40＋41 等）
要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系
区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；
联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角
形有关.
【典型例题】
类型一、勾股定理及逆定理的简单应用
例 1、如图所示，直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝
3 5
，AB＝
10 5
，BC
8 5
，E 是 AB 上一点，且 AE＝
4 5
，求点 E 到 CD 的距离 EF．
【思路点拨】连接 DE、CE 将 EF 转化为△DCE 一边 CD 上的高，根据题目所给的条件，
容易求出△CDE 的面积，所以利用面积法只需求出 CD 的长度，即可求出 EF 的长度，过点 D
作 DH⊥BC 于 H，在 Rt△DCH 中利用勾股定理即可求出 DC．
【答案与解析】
解：过点 D 作 DH⊥BC 于 H，连接 DE、CE，则 AD＝BH，AB＝DH，
∴ CH＝BC－BH＝
8 5 3 5 5 5 
DH＝AB＝
10 5
，
2
在 Rt△CDH 中，
2 2 2 2 2
(10 5) (5 5) 625CD DH CH  
，
∴ CD＝25，
∵
CDE ADE BCE
ABCD
S S S S  
△ △ △
梯形
1 1 1
( )
2 2 2
AD BC AB AD AE BC BE   
1 1 1
(3 5 8 5) 10 5 3 5 4 5 8 5 6 5 125
2 2 2
   
又∵
1
2
CDE
S DC EF
△
，
∴
125 125
2EF 
，∴ EF＝10．
【总结升华】（1）多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积，利用面积法
求三角形一边上的高是一种常用的简易方法．（2）利用勾股定理求边长、面积时要注意边
长、面积之间的转换．
举一反三：
【变式】如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 边上的点，已知 AB＝13，AD＝12，AC＝
15，BD＝5，求 DC 的长．
【答案】
解：在△ABD 中，由
2 2 2
12 5 13 
可知：
2 2 2
AD BD AB 
，又由勾股定理的逆定理知∠ADB＝90°．
在 Rt△ADC 中，
2 2 2 2
15 12 9DC AC AD  
．
类型二、勾股定理与其他知识结合应用
例 2、如图所示，牧童在 A 处放牛，其家在 B 处，A、B 到河岸的距离分别为 AC＝400
米，BD＝200 米，CD＝800 米，牧童从 A处把牛牵到河边饮水后再回家．试问在何处饮水，
3
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