八年级上册数学举一反三系列(人教版)专题02 角度计算中的经典模型（举一反三）（解析版）

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专题 02 角度计算中的经典模型【举一反三】

【模型 1 双垂直模型】

【条件】∠B= D= ACE=90°.∠ ∠

【结论】∠BAC= DCE∠，∠ACB= CED.∠

【例 1】（2019 春•润州区校级月考）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，F是AC 延长线上一点，FD⊥AB，

垂足为 D，FD 与BC 相交于点 E，∠BED＝55°．求∠A的度数．

【分析】首先由 FD⊥AB 于D，根据直角三角形两锐角互余得出∠BED+∠B＝90°，同理，由∠ACB＝

90°，得出∠A+∠B＝90°，然后根据同角的余角相等得出∠A＝∠BED＝55°．

【答案】解：∵FD⊥AB 于D，

∴∠BED+∠B＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠A+∠B＝90°，

∴∠A＝∠BED＝55°．

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较简单．

【变式 1-1】（2019 秋•凉州区校级期中）如图，△ABC 中，∠B＝∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，∠AFD＝

152°，

求∠A的度数．

【分析】利用外角性质可求得∠C，在△ABC 中利用三角形内角和定理可求得∠A．

【答案】解：∵DF⊥BC，

∴∠FDC＝90°，

∵∠AFD＝152°，

∴∠C＝∠AFD﹣∠FDC＝152°﹣90°＝62°，

∵∠B＝∠C，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣62°﹣62°＝56°．

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为 180°是解题的关键．

【变式 1-2】（2019 春•莲湖区期中）如图，在△ACB 中，∠ACB＝90゜，CD⊥AB 于D．

（1）求证：∠ACD＝∠B；

（2）若 AF 平分∠CAB 分别交 CD、BC 于E、F，求证：∠CEF＝∠CFE．

【分析】（1）由于∠ACD 与∠B都是∠BCD 的余角，根据同角的余角相等即可得证；

（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠AED＝90°﹣∠DAE，再根据角平分线的

定义得出∠CAF＝∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF＝∠CFE．

【答案】证明：（1）∵∠ACB＝90゜，CD⊥AB 于D，

∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B；

（2）在 Rt△AFC 中，∠CFA＝90°﹣∠CAF，

同理在 Rt△AED 中，∠AED＝90°﹣∠DAE．

又∵AF 平分∠CAB，

∴∠CAF＝∠DAE，

∴∠AED＝∠CFE，

又∵∠CEF＝∠AED，

∴∠CEF＝∠CFE．

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适

中．

【变式 1-3】（1）如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，∠ACD 与∠B有什么关系？

为什么？

（2）如图②，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D、E分别在 AC，AB 上，且∠ADE＝∠B，判断△ADE 的形状

是什么？为什么？

（3）如图③，在 Rt△ABC 和Rt△DBE 中，∠C＝90°，∠E＝90°，AB⊥BD，点 C，B，E在同一直线上，

∠A与∠D有什么关系？为什么？

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