《八年级数学下册基础知识专项讲练（浙教版）》专题1.7 《二次根式》全章复习与巩固（知识讲解）

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1.7 《二次根式》全章复习与巩固（知识讲解）
【学习目标】
1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.
2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运
算.
3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、二次根式相关概念
1．二次根式：
一般地，形如 的代数式叫做二次根式，a 叫做被开方数．
2．n 次根式：
形如 的代数式叫做 n 次根式，其中若 n 为偶数，则必须满足 ．
3．最简二次根式：
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
①一般地，被开方数不含分母，即被开方数是整数或整式；
② 被开方数中不含有能开方的因数或因式．
4．两个重要性质：
；
5．同类二次根式：
几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同
类二次根式．
要点二、二次根式的四则运算
1．乘除法：
1
； ．
2．加减法：
， ．
3．混合运算：
遵循有理式中的运算顺序，运算律和乘法公式等仍然适用．
4．乘法公式的推广：
① ；
② ；
③ ．
5．二次根式的分母有理化
定义：在二次根式中，将无理数的分母化为有理数的过程．
方法：分子分母同时乘以有理化因式（有理化因式是指相乘之后使分母变为有理
数的因式）．
6．（1）单项根式的分母有理化，同乘以分母本身．例： ．
（2）两项根式的分母有理化，同乘以使分母构成平方差公式的因式．
例： ．
【典型例题】
类型一、二次根式的概念与性质
1．当 是怎样的实数时，二次根式 在实数范围内有意义（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】二次根式 有意义的条件是 ，据此解题．
【详解】二次根式 在实数范围内有意义的条件是
故选：A．
2
【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有
0a
时
a
才是二次根式.
举一反三
【变式 1】若式子 在实数范围内有意义，则实数 的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的被开方数为非负数即可得出的取值范围．
【详解】∵式子 在实数范围内有意义，
∴x＋1≥0
∴x≥﹣1
故选：B
【变式 2】若 有意义，则 a能取的最小整数为（ ）
A．0 B．1 C．－ D．－4
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质列出不等式求解，即可判断．
【详解】依题意可得 4a+1≥0
解得 a≥-
∴a能取的最小整数为 0
故选 A．
2．已知 的算术平方根是 8，且 ,则 的平方根是____
___.
【答案】±5
【解析】根据实数的性质，算术平方根的定义可得方程 =0,从而求得
x,y 的值，代入可得答案．
3
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