《八年级数学下册期末突破易错挑战满分（浙教版）》易错13 矩形的性质与判定易错（解析版）

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2020-2021 学年八年级数学下册期末突破易错挑战满分（浙教版）
易错 13 矩形的性质与判定易错
【典型例题】
1．（2021·全国八年级课时练习）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC=90°，对角线
AC，BD 交于点 O，DE 平分∠ADC 交BC 于点 E，连接 OE．
（1）求证：四边形 ABCD 是矩形；
（2）若∠BDE=15°，求∠DOE；
（3）在（2）的条件下，若 AB=2，求△BOE 的面积．
【答案】（1）见解析；（2）135°；（3）
【分析】
（1）根据有三个角是直角是四边形是矩形判定即可；
（2）首先根据矩形的性质得出 OD=OC，然后利用角平分线的定义得出△DCE 是等腰直角三角形，进而得
出△OCD 是等边三角形，然后可得∠OCE=30°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出
∠COE=∠CEO=75°，最后利用∠DOE=∠COD+∠COE 即可求解；
（3）作 OF⊥BC 于F，首先根据三角形中位线的性质得出 OF=1，然后利用勾股定理求出 BC 的长度，进而
得出 BE 的长度，最后利用面积公式求解即可．
【详解】
解：（1）∵AD BC，
∴∠ABC+∠BAD=180°，
∵∠ABC=90°，
∴∠BAD=90°，
∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，
∴四边形 ABCD 是矩形．
（2）由（1）可得：AO=CO，BO=DO，AC=BD，
1
∴OD=OC，
∵DE 平分∠ADC，
∴∠CDE=45°，
∴△DCE 是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，CD=CE，
∵∠BDE=15°，
∴∠DBC=∠ADB=45°-15°=30°，
∴∠BDC=60°，又 OD=OC，
∴△OCD 是等边三角形，
∴OC=CD=CE，∠DCO=∠COD=60°，
∴∠OCE=30°，
∴∠COE=∠CEO=（180°-30°）÷2=75°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=60°+75°=135°；
（3）作 OF⊥BC 于F．
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴CD=AB=2，∠BCD=90°，AO=CO，BO=DO，AC=BD，
∴AO=BO=CO=DO，
∴BF=FC，
∴OF=CD=1，
∵EC=CD=AB=2，
∴AC=BD=4，
∴BC= = ，
∴BE=BC-CE= -2，
∴△BOE 的面积= ．
2
【点睛】
本题主要考查四边形综合，掌握矩形的判定及性质，等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
【专题训练】
一、选择题
1．（2021·湖北十堰市·九年级其他模拟）下列命题中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．四个角都相等的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形 D．有一个角是直角的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据矩形的判定方法对各小题分析判断即可得解．
【详解】
解：A.对角线相等的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
B.四个角都相等的四边形是矩形，正确，符合题意；
C.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
D.有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查了矩形的判定，熟记判定方法并理解矩形是特殊的平行四边形是解题的关键．
2．（2021·广东九年级三模）如图，将矩形纸片 ABCD 沿对角线 BD 折叠，点 C落在点 E处，BE 与AD 相
交于点 F，∠EDF＝42°，则∠DBE 的度数是（　　）
A．21°B．23°C．24°D．42°
【答案】C
【分析】
根据翻折的性质可得∠1＝∠2，根据两直线平行，内错角相等可得∠1＝∠3，从而得到∠2＝∠3，然后根
据三角形的内角和定理列式计算即可．
3
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